Tietokoneiden looginen perusta. Logiikan perusteet ja tietokoneen yleiset loogiset perusteet Tietokoneen loogisten toimintojen loogiset perusteet

22.01.2022

Luento nro 3.

Tietokoneen LOGISET perusteet.

Mikä on logiikan algebra?

Mikä on looginen kaava?

Mikä on yhteys loogisen algebran ja binäärikoodauksen välillä?

Missä muodossa tiedot ja komennot kirjoitetaan tietokoneen muistiin ja prosessorin rekistereihin?

Mikä on tietokoneen logiikkaelementti?

Mitä ovat JA, TAI, EI, NAND, NOR-piirit?

Mikä on laukaisin?

Mikä on summain?

Mitkä peruslait pätevät logiikan algebrassa?

Kuinka luoda totuustaulukko?

Kuinka yksinkertaistaa loogista kaavaa?

Mikä on kytkinpiiri?

Miten logiikkaongelmat ratkaistaan?

Mikä on logiikan algebra?

Logiikkaalgebra syntyi 1800-luvun puolivälissä englantilaisen matemaatikon teoksissa George Boole. Sen luominen oli yritys ratkaista perinteisiä loogisia ongelmia algebrallisilla menetelmillä.

Mikä on looginen lausunto?

Joten esimerkiksi lause " 6 - parillinen luku"Tulisi pitää väitteenä, koska se on totta. Lause" Rooma on Ranskan pääkaupunki" on myös väite, koska se on väärä.

Tietysti jokainen lause ei ole looginen lausunto. Lausunnot eivät ole esimerkiksi lauseita " kymmenennen luokan oppilas"ja" tietojenkäsittelytiede on mielenkiintoinen aihe". Ensimmäinen virke ei kerro mitään opiskelijasta, ja toinen käyttää liian epämääräistä käsitettä" mielenkiintoinen aihe". Kysely- ja huutolauseet eivät myöskään ole lausuntoja, koska niiden totuudesta tai valheellisuudesta ei ole mitään järkeä puhua.

lauseita kuten " kaupungissa A yli miljoona asukasta", "hänellä on siniset silmät" eivät ole väitteitä, koska niiden totuuden tai valheellisuuden määrittämiseksi tarvitaan lisätietoa: mistä kaupungista tai henkilöstä keskustellaan. Tällaisia lauseita kutsutaan ns. ilmeikkäät muodot.

Logiikkaalgebra tarkastelee mitä tahansa väitettä vain yhdestä näkökulmasta - onko se totta vai epätosi. huomaa, että Lausunnon totuuden toteaminen on usein vaikeaa. Joten esimerkiksi lause " Intian valtameren pinta-ala on 75 miljoonaa neliömetriä. km" voidaan pitää vääränä yhdessä tilanteessa ja tosi toisessa. Epätosi - koska määritetty arvo on epätarkka eikä ole ollenkaan vakio. Tosi - jos pidämme sitä jonkinlaisena käytännössä hyväksyttävänä likiarvona.

Tavallisessa puheessa käytetyt sanat ja lauseet "ei", "ja", "tai", "jos... sitten", "sitten ja vain silloin" ja muiden avulla voit rakentaa uusia lausuntoja jo annetuista lausunnoista. Tällaisia sanoja ja lauseita kutsutaan loogisia yhteyksiä.

Kutsutaan lauseita, jotka on muodostettu muista lauseista loogisten konnektioiden avulla komposiitti. Lausekkeita, jotka eivät ole yhdistelmiä, kutsutaan perus.

Joten esimerkiksi alkeislauseista " Petrov - lääkäri", "Petrov - shakinpelaaja"kopulan avulla" Ja"voit saada yhdistetyn lausunnon" Petrov - lääkäri ja shakinpelaaja"ymmärrettynä" Petrov on lääkäri, joka pelaa shakkia hyvin".

Käyttämällä linkkiä " tai"samista lauseista voidaan saada yhdistelmälause" Petrov - lääkäri tai shakinpelaaja", joka ymmärretään logiikan algebrassa " Petrov tai lääkäri, tai shakinpelaaja tai sekä lääkäri että shakinpelaaja yhtä aikaa".

Näin saatujen yhdistelmäväitteiden totuus tai epätosi riippuu alkeisväitteiden totuudesta tai virheellisyydestä.

Loogisiin lauseisiin viitattaessa niille annetaan nimet. Päästä läpi A lausunto on osoitettu "Timur menee merelle kesällä" ja läpi SISÄÄN- lausunto "Timur menee vuorille kesällä." Sitten yhdistelausuma "Timur vierailee kesällä sekä merellä että vuorilla" voidaan kirjoittaa lyhyesti nimellä A ja B. Tässä "Ja"- looginen yhteys, A, B- loogiset muuttujat, jotka voivat ottaa vain kaksi arvoa - "tosi" tai "epätosi", merkitty vastaavasti "1" ja "0".

Jokaista loogista yhdistämistä pidetään loogisten lauseiden toimintona, ja sillä on oma nimi ja nimitys:

EI Toiminta ilmaistaan sanalla "Ei", nimeltään kieltäminen ja se on osoitettu lauseen (tai merkin) yläpuolella olevalla rivillä. Väite on tosi, kun A on epätosi, ja epätosi, kun A on tosi. Esimerkki. " Kuu on Maan satelliitti" (A); " Kuu ei ole Maan satelliitti" ().

JA "Ja", nimeltään konjunktio (lat. conjunctio - yhteys) tai looginen kertolasku ja se on merkitty pisteellä " . " (voidaan osoittaa myös kylteillä tai & ). lausunto A. B totta jos ja vain jos molemmat väitteet A Ja SISÄÄN ovat totta. Esimerkiksi lausunto "10 on jaollinen 2:lla ja 5 on suurempi kuin 3" totta ja väitteitä "10 ei ole jaollinen kahdella ja 5 on enintään 3", "10 ei ole jaollinen 2:lla ja 5 ei ole suurempi kuin 3", "10 ei ole jaollinen 2:lla ja 5 on enintään 3"- ovat vääriä.

TAI Kopula ilmaisee toiminta "tai"(sanan ei-yksinomaisessa merkityksessä) kutsutaan disjunktio (lat. disjunctio - jako) tai looginen lisäys ja se osoitetaan merkillä v(tai plussaa). lausunto A v B on epätosi silloin ja vain, jos molemmat väitteet A ja B ovat vääriä. Esimerkiksi lausunto "10 ei ole jaollinen kahdella tai 5 ei ole suurempi kuin 3" vääriä ja väitteitä "10 on jaollinen 2:lla tai 5:llä suurempi kuin 3", "10 on jaollinen 2:lla tai 5:llä enintään 3", "10 ei ole jaollinen 2:lla tai 5:llä suurempi kuin 3"- totta.

JOS SITTEN Toiminta ilmaistaan yhteyksillä "jos... sitten", "alkaen... seuraa", "... edellyttää...", nimeltään seuraamus (lat. impliko- liittyvät läheisesti toisiinsa) ja ne osoitetaan merkillä. Väite on väärä jos ja vain jos A totta, mutta SISÄÄN väärä.

Miten implikaatio yhdistää kaksi peruslausetta? Osoitetaan tämä esimerkin avulla: "tämä nelikulmio on neliö" (A) Ja "Ympyrä voidaan rajata tietyn nelikulmion ympärille" (SISÄÄN). Harkitse yhdistelmälausetta, joka ymmärretään "Jos annettu nelikulmio on neliö, sen ympärille voidaan piirtää ympyrä." Syödä kolme vaihtoehtoa, kun väite on totta:

A totta ja SISÄÄN totta, eli tämä nelikulmio on neliö ja sen ympärille voidaan rajata ympyrä;
A väärä ja SISÄÄN totta, eli tämä nelikulmio ei ole neliö, vaan sen ympärille voidaan kuvata ympyrä (tämä ei tietenkään päde jokaiselle nelikulmiolle);
A väärä ja B false, eli tämä nelikulmio ei ole neliö, eikä sen ympärille voida piirtää ympyrää.

Vain yksi vaihtoehto on epätosi, kun A on tosi ja B on epätosi, eli tämä nelikulmio on neliö, mutta sen ympärillä olevaa ympyrää on mahdotonta kuvata.

Tavallisessa puheessa konnektiivi "jos sitten" kuvaa väitteiden välistä syy-seuraussuhdetta. Mutta loogisissa operaatioissa lauseiden merkitystä ei oteta huomioon. Vain niiden totuus tai valhe otetaan huomioon. Siksi sisällöltään täysin riippumattomien lausuntojen muodostamien implikaatioiden "merkittämättömyydestä" ei pidä joutua nolostumaan. Esimerkiksi näin: "Jos Yhdysvaltain presidentti on demokraatti, niin Afrikassa on kirahveja", "jos vesimeloni on marja, huoltoasemalla on bensiiniä."

Tasapainoinen Toiminta ilmaistaan yhteyksillä " silloin ja vain silloin", "tarpeellista ja riittävää", "... vastaava...", nimeltään vastaava tai kaksoismerkityksinen ja se osoitetaan merkillä tai ~. Väite on totta, jos ja vain, jos sillä on merkityksiä A Ja SISÄÄN täsmätä. Esimerkiksi lausunnot "24 on jaollinen 6:lla, jos ja vain jos 24 on jaollinen kolmella", "23 on jaollinen 6:lla, jos ja vain jos 23 on jaollinen kolmella" ovat totta ja väitteitä "24 on jaollinen 6:lla, jos ja vain jos 24 on jaollinen 5:llä", "21 on jaollinen 6:lla, jos ja vain jos 21 on jaollinen kolmella" väärä.

lausunnot A Ja SISÄÄN, yhdistetyn lausunnon muodostaminen voi olla sisällöltään täysin riippumatonta, esimerkiksi: "kolme on enemmän kuin kaksi" (A), "Pingviinit elävät Etelämantereella" (SISÄÄN). Näiden väitteiden negatiivit ovat väitteitä "kolme ei ole enemmän kuin kaksi" (), "pingviinit eivät asu Etelämantereella"(). Muodostunut lausunnoista A Ja SISÄÄN yhdistetyt lausunnot A B ja totta ja väitteitä A Ja B- ovat vääriä.

Siis meiltä Viittä loogista operaatiota tarkastellaan: negaatio, konjunktio, disjunktio, implikaatio ja ekvivalenssi.

Siten negaatio-, disjunktio- ja konjunktiooperaatiot riittävät kuvaamaan ja käsittelemään loogisia lauseita.

Loogisten toimintojen järjestys määritellään suluissa. Mutta sulkeiden määrän vähentämiseksi sovimme, että ensin suoritetaan negaatiooperaatio ("ei"), sitten konjunktio ("ja"), konjunktion jälkeen disjunktio ("tai") ja lopuksi implikaatio.

Kaavio I

JA-piiri toteuttaa kahden tai useamman Boolen arvon konjunktion. JA kahdella sisääntulolla on esitetty kuvassa. 5.1.

Piirin totuustaulukko JA

x	y	x. y

TAI piiri

TAI piiri toteuttaa disjunktio kaksi tai useampi Boolen arvo.

Kun vähintään yksi piirin tulo TAI on yksi, sen tulos on myös yksi.

Symboli piirin lohkokaavioissa TAI kahdella sisääntulolla on esitetty kuvassa. 5.2.

Merkki "1" kaaviossa - vanhentuneesta disjunktiomerkinnästä as ">=1" (eli disjunktion arvo on yhtä suuri kuin yksi, jos operandien arvojen summa on suurempi tai yhtä suuri kuin 1).

Viestintä lähtöjen välillä z tämä piiri ja tulot x Ja y kuvataan suhteella:

z = x v y(lukea "x tai y").

Piirin totuustaulukko TAI

x	y	x v y

KAAVIO EI

Kaavio EI(invertteri) työkoneet negatiivinen operaatio.

Viestintä tulojen välillä x tämä piiri ja lähtö z voidaan kirjoittaa nimellä

z = , x missä se lukee "ei x" tai "käänteinen x".

Jos piirin sisääntulossa 0, sitten uloskäynnissä 1. Kun sisäänkäynnillä 1, uloskäynnissä 0. Symboli taajuusmuuttajan lohkokaavioissa - kuvassa 5.3

Piirin totuustaulukko EI

x

Kaava JA-EI

Kaavio JA EI koostuu elementistä JA JA.

Viestintä lähtöjen välillä z ja sisäänkäynnit x Ja y piirit kirjoitetaan seuraavasti: , jossa lukee muodossa "x:n ja y:n käännös".

Symboli piirin lohkokaavioissa JA EI kahdella tulolla on esitetty kuvassa 5.4.

NAND-piirin totuustaulukko

x	y

TAI-EI-piiri

Kaavio VAI EI koostuu elementistä TAI ja invertteri ja kumoaa piirin tuloksen TAI.

Viestintä lähtöjen välillä z ja sisäänkäynnit x Ja y piirit kirjoitetaan seuraavasti: , jossa , lukee muodossa "x:n tai y:n käänteis".

Symboli piirin lohkokaavioissa VAI EI kahdella sisääntulolla on esitetty kuvassa. 5.5.

NOR-piirin totuustaulukko

Termi laukaista tulee englannin sanasta laukaista- salpa, liipaisin.

Tämän piirin merkitsemiseksi sisään Englannin kieli termiä käytetään useammin varvastossu, joka käännettynä tarkoittaa "taputtelua". Tämä elektroniikkapiirin onomatopoeettinen nimi viittaa sen kykyyn melkein välittömästi siirtyä ("kytkin") sähkötilasta toiseen ja päinvastoin.

Yleisin laukaisutyyppi on ns RS-liipaisin(S ja R, vastaavasti, englannista aseta- asennus ja nollaa- nollaa). Liipaisinsymboli näkyy kuvassa. 5.6.

Riisi. 5.6

Siinä on kaksi symmetristä tuloa S ja R ja kaksi symmetristä lähtöä Q ja , jolloin lähtösignaali Q on signaalin looginen negaatio .

Molemmat tulot S ja R voivat vastaanottaa tulosignaaleja lyhytaikaisten pulssien muodossa ().

Kuvassa Kuva 5.7 esittää kiikun toteutusta NOR-portteja ja vastaavaa totuustaulukkoa käyttäen.

Riisi. 5.7

S	R	K
		kielletty


		bittivarasto

Analysoidaan kiikun tulojen R ja S arvojen mahdollisia yhdistelmiä käyttämällä sen piiriä ja NOR-NOT-piirin totuustaulukkoa (taulukko 5.5).

Koska yksi liipaisin voi muistaa vain yhden bitin binäärikoodia, tavun muistamiseen tarvitaan 8 kiikkua ja kilotavun muistamiseen tarvitaan 8 x 2 10 = 8192 kiikkua. Nykyaikaiset muistisirut sisältävät miljoonia laukaisimia.

Mikä on summain?

Summain toimii ennen kaikkea tietokoneen aritmeettis-loogisen laitteen keskusyksikkönä, mutta se löytää käyttöä myös muissa koneen laitteissa.

Monibittinen binaarisummain, suunniteltu moninumeroisten binäärilukujen lisäämiseen, on yhdistelmä yksinumeroisia summaimia, jolla aloitamme. Yksinumeroisen summaimen symboli kuvassa. 5.8.

Riisi. 5.8

Kun lisäät numerot A ja B yhdeksi i Kolmannen numeron on vastattava kolmea numeroa:

1. numero a i ensimmäinen termi;

2. numero b i toinen termi;

3. siirto s i-1 junioriluokasta alkaen.

Summauksen tuloksena saadaan kaksi numeroa:

1. numero c i määrälle;

2. siirto s i tästä kategoriasta senioreihin.

Täten, yksibittinen binäärisummain on laite, jossa on kolme tuloa ja kaksi lähtöä, jonka toimintaa voidaan kuvata seuraavalla totuustaulukolla:

Tulot	Poistuu
Ensimmäinen termi	Toinen termi	Siirtää	Summa	Siirtää

Jos sinun on lisättävä kahden tai useamman bitin pituisia binäärisanoja, voit käyttää tällaisten summaimien sarjaliitäntää ja kahdelle vierekkäiselle summaimelle yhden summaimen siirtolähtö on toisen tulo.

Esimerkiksi kaavio kahden binaarisen kolminumeroisen luvun A = (a 2 a 1 a 0) ja B = (b 2 b 1 b 0) summan C = (c 3 c 2 c 1 c 0) laskemiseksi näyttää joltakin:

Esimerkkejä.

1. Luodaan totuustaulukko kaavalle, joka sisältää kaksi muuttujaa x ja y. Taulukon kahteen ensimmäiseen sarakkeeseen kirjoitamme neljä mahdollista näiden muuttujien arvoparia, seuraaviin sarakkeisiin - välikaavojen arvot ja viimeiseen sarakkeeseen - kaavan arvo. Tuloksena saamme taulukon:

Muuttujat	Välitason loogiset kaavat	Kaava

Taulukosta se on selvää kaikille muuttujien x ja y arvojoukoille kaava saa arvon 1, eli on identtinen tosi.

2. Totuustaulukko kaavalle:

LOGIIKAN PERUSTEET JA TIETOKONEEN LOGISET PERUSTEET

AJATTELUMUODOT

LOGIIKKA on tiede ihmisen ajattelun muodoista ja laeista ja erityisesti evidentiaalisen päättelyn laeista.
Logiikka tutkii ajattelua keinona ymmärtää objektiivista maailmaa. Logiikan lait heijastavat ihmisen tietoisuudessa ympäröivän maailman esineiden ominaisuuksia, yhteyksiä ja suhteita.
Muodollinen logiikka käsittelee tavallisten puhekielellä ilmaistujen merkityksellisten päätelmiemme analysointia. Matemaattinen logiikka tutkii vain päätelmiä tiukasti määritellyillä objekteilla ja tuomioilla, joista voidaan yksiselitteisesti päättää, ovatko ne tosia vai vääriä.
Logiikan ideoita ja laitteita käytetään kybernetiikassa, tietotekniikassa ja sähkötekniikassa (tietokoneiden rakentaminen perustuu matemaattisen logiikan lakeihin).

PC:n logiikkapiirit ja laitteet perustuvat erityiseen matemaattiseen laitteistoon, joka käyttää logiikan lakeja. Matemaattinen logiikka tutkii matemaattisten menetelmien soveltamista loogisten ongelmien ratkaisemiseen ja loogisten piirien rakentamiseen. Logiikan tuntemus on välttämätöntä algoritmeja ja ohjelmia kehitettäessä, koska useimmilla ohjelmointikielillä on loogisia operaatioita.

Ajattelun perusmuodot

Tärkeimmät ajattelun muodot ovat: KÄSITTEET, TUOMIOT, JOHTOPÄÄTÖKSET.
KONSEPTI- ajattelun muoto, joka heijastaa yksittäisen kohteen tai homogeenisten esineiden luokan olennaisia piirteitä. Esimerkkejä: salkku, trapetsi, hurrikaanituuli.
Konseptilla on kaksi puolta: sisältö Ja äänenvoimakkuutta.

Käsitteen sisältö on joukko esineen olennaisia piirteitä. Käsitteen sisällön paljastamiseksi on löydettävä tarvittavat ja riittävät merkit erottamaan tietty esine monista muista esineistä. Esimerkiksi käsitteen "henkilökohtainen tietokone" sisältö voidaan selittää seuraavasti: "Henkilökohtainen tietokone on yleiskäyttöinen elektroninen laite automaattiseen tietojenkäsittelyyn, joka on tarkoitettu yhdelle käyttäjälle."

Käsitteen laajuus määräytyy niiden kohteiden kokonaisuuden mukaan, joita se koskee. Käsitteen "henkilökohtainen tietokone" laajuus ilmaisee koko maailmassa tällä hetkellä olemassa olevien henkilökohtaisten tietokoneiden sarjan (satoja miljoonia).
TUOMIO on ajattelun muoto, jossa jotain vahvistetaan tai kielletään esineistä, niiden ominaisuuksista ja suhteista.
Propositiot ovat yleensä deklaratiivisia lauseita, jotka voivat olla joko tosi tai epätosi.
"Bern on Ranskan pääkaupunki"
"Kuban-joki virtaa Azovinmereen",
"2>9", "3×5=10"
PÄÄTELMÄ- Tämä on ajattelun muoto, jonka kautta yhdestä tai useammasta todellisesta tuomiosta, joita kutsutaan premissiksi, saamme tiettyjen päättelysääntöjen mukaisesti uuden tuomion (päätelmän).
Kaikki metallit ovat yksinkertaisia aineita. Litium on metalli.→ Litium on yksinkertainen aine.
Yksi kolmion kulmista on 90º. → Tämä kolmio on suorakulmainen.

LAUSUNTOALGEBRA

Henkilökohtaisen tietokoneen loogisten piirien ja laitteiden toiminta perustuu erityiseen matemaattiseen laitteeseen - matemaattiseen logiikkaan. Matemaattinen logiikka tutkii matemaattisten menetelmien soveltamista loogisten ongelmien ratkaisemiseen ja loogisten piirien rakentamiseen. Logiikan tuntemus on välttämätöntä algoritmeja ja ohjelmia kehitettäessä, koska useimmilla ohjelmointikielillä on loogisia operaatioita.

Englantilainen matemaatikko George Boole (1815-1864) luotu looginen algebra, jossa lauseet esitetään kirjaimilla. George Boolen essee, joka tutki tätä algebraa yksityiskohtaisesti, julkaistiin vuonna 1854. Sen nimi oli "Ajattelun lakien tutkiminen". Tästä on selvää, että Boole piti algebraansa työkaluna tutkia ihmisen ajattelun lakeja eli logiikan lakeja. Logiikkaalgebraa kutsutaan muuten lauseiden algebraksi. Matemaattisessa logiikassa väitteitä kutsutaan lauseiksi.

LAUSUNTO on deklaratiivinen lause, jonka voidaan sanoa olevan joko tosi tai epätosi.

Esimerkiksi: Maa - aurinkokunnan planeetta. (Totta) 2+8 (väärä) 5 5 = 25(Totta) Jokainen neliö on suuntaviiva(Totta) Jokainen suunnikas on neliö(Väärä) 2 2 = 5(Väärä)

Jokainen lause ei ole lausunto: 1) Huuto- ja kyselylauseet eivät ole lausuntoja. "Minkä värinen tämä talo on?" - "Juo tomaattimehua!" - "Lopettaa!" 2) Määritelmät ja lausunnot eivät ole väitteitä. "Kutsutaan mediaaniksi segmenttiä, joka yhdistää kolmion kärjen vastakkaisen sivun keskipisteeseen." Määritelmät eivät ole tosia tai vääriä, ne vain tallentavat termien hyväksytyn käytön. 3) Lauseet kuten "Hän on harmaasilmäinen" tai

“x-4x + 3=0"- ne eivät kerro kenestä henkilöstä puhumme tai mille numerolle X tasa-arvo on totta. Tällaisia ehdotuksia kutsutaan ilmeikkäät muodot.
Ilmeikäs muoto on deklaratiivinen lause, joka sisältää suoraan tai epäsuorasti vähintään yhden muuttujan ja muuttuu lauseeksi, kun kaikki muuttujat korvataan niiden arvoilla.

.

Matemaattisessa logiikassa väitteen tiettyä sisältöä ei oteta huomioon, vaan sillä on merkitystä, onko se totta vai tarua. Siksi lausetta voidaan esittää jollakin muuttujalla, jonka arvo voi olla vain 0 tai 1. Jos väite on tosi, sen arvo on 1, jos epätosi - 0.
Yksinkertaisia lausuntoja kutsutaan loogisia muuttujia ja tallennuksen helpottamiseksi ne on merkitty latinalaisin kirjaimin: A, B, C... Kuu on Maan satelliitti. A = 1 Moskova on Saksan pääkaupunki. B = 0
Monimutkaisia lauseita kutsutaan loogisia toimintoja. Loogisen funktion arvot voivat myös olla vain arvoja 0 tai 1.

LOGISET PERUSTOIMINNOT

Propositioalgebrassa, kuten tavallisessa algebrassa, otetaan käyttöön useita operaatioita. Loogiset konnektiivit AND, OR ja NOT korvataan loogisilla operaatioilla: konjunktio, disjunktio ja inversio. Nämä ovat loogisia perusoperaatioita, joilla voit kirjoittaa mitä tahansa loogista funktiota.

1. Looginen operaatio KÄÄNTÄ (NEGAATIO)

vastaa hiukkasta EI
on merkitty viivalla muuttujan nimen yläpuolella tai ¬-merkillä muuttujan edessä
Boolen muuttujan käänteisarvo on tosi, jos itse muuttuja on epätosi, ja päinvastoin, käänteisarvo on epätosi, jos muuttuja on tosi.
Inversion totuustaulukko näyttää tältä:

2. Looginen operaatio DISJUNCTION (LOOGINEN LISÄYS)

vastaa konjunktiota OR
merkitty v:llä tai + tai ║
Kahden loogisen muuttujan disjunktio on epätosi silloin ja vain, jos molemmat lauseet ovat vääriä. Tämä määritelmä voidaan yleistää mihin tahansa määrään disjunktiolla yhdistettyjä loogisia muuttujia. A v B v C = 0, vain jos A = 0, B = 0, C = 0. Disjunktion totuustaulukolla on seuraava muoto:

3. Looginen operaatio CONJUNCTION (LOOGINEN KERTOAMINEN)

vastaa konjunktiota AND
merkitty & tai Λ, tai ·
Kahden loogisen muuttujan konjunktio on tosi, jos ja vain jos molemmat lauseet ovat tosi. Tämä määritelmä voidaan yleistää mihin tahansa määrään konjunktiolla yhdistettyjä Boolen muuttujia. A & B & C = 1 vain, jos A = 1, B = 1, C = 1. Konjunktion totuustaulukolla on seuraava muoto:

LOOGISET SALAUKSET JA TOTUUSTAULUKOT

Monimutkaiset lauseet voidaan kirjoittaa kaavojen muodossa. Tätä varten yksinkertaiset loogiset lauseet on merkittävä kirjaimin loogisiksi muuttujiksi ja yhdistettävä loogisten operaatioiden merkkejä käyttäen. Tällaisia kaavoja kutsutaan loogisia lausekkeita. Esimerkiksi:

Loogisen lausekkeen arvon määrittämiseksi sinun on korvattava loogisten muuttujien arvot lausekkeella ja suoritettava loogisia operaatioita. Loogisen lausekkeen operaatiot suoritetaan vasemmalta oikealle sulkeet huomioiden seuraavassa järjestyksessä: 1. käännös; 2. konjunktio; 3. disjunktio; 4. implikaatio ja vastaavuus. Loogisten toimintojen määritetyn järjestyksen muuttamiseksi käytetään sulkeita.

Totuustaulukot

Voit rakentaa jokaiselle yhdistelmälausekkeelle (loogiselle lausekkeelle). totuustaulukko, joka määrittää loogisen lausekkeen totuuden tai virheellisyyden kaikille mahdollisille yksinkertaisten lauseiden (loogisten muuttujien) alkuarvojen yhdistelmille.
Totuustaulukoita rakennettaessa on suositeltavaa noudattaa tiettyä toimintosarjaa:
1) kirjoita lauseke muistiin ja määritä toimintojen järjestys
2) määrittää totuustaulukon rivien lukumäärä. Se on yhtä suuri kuin loogiseen lausekkeeseen sisältyvien loogisten muuttujien arvojen mahdollisten yhdistelmien lukumäärä (määritetty kaavalla Q = 2n, jossa n on syötemuuttujien lukumäärä)
3) määrittää sarakkeiden lukumäärä totuustaulukossa (= loogisten muuttujien lukumäärä + loogisten operaatioiden määrä)
4) rakentaa totuustaulukko, nimetä sarakkeet (muuttujien nimet ja loogisten operaatioiden nimet niiden suoritusjärjestyksessä) ja syötä taulukkoon alkuperäisten loogisten muuttujien mahdolliset arvojoukot.
5) täyttää totuustaulukko suorittamalla loogisia perusoperaatioita vaaditussa järjestyksessä ja niiden totuustaulukkojen mukaisesti
Voimme nyt määrittää Boolen funktion arvon mille tahansa Boolen muuttujan arvojoukolle.

Rakennetaan esimerkiksi totuustaulukko loogiselle funktiolle:

Tietyn lausekkeen syötemuuttujien määrä on kolme (A, B, C). Tämä tarkoittaa, että syötejoukkojen määrä ja siten rivien määrä Q = 23 = 8. Sarakkeiden lukumäärä on 6 (3 muuttujaa + 3 operaatiota). Totuustaulukon sarakkeet vastaavat alkuperäisten lausekkeiden arvoja A, B, C, välitulokset ja ( B V C), sekä kompleksisen aritmeettisen lausekkeen haluttu lopullinen arvo

KIRJOITTAA LOOGINEN ILMAISEMINEN TOTUUSTAULUKON MUKAISESTI

Säännöt loogisen lausekkeen muodostamiseksi:
1. Jokaiselle totuustaulukon riville, jolla on funktion yksikköarvo, muodosta konstruktio minterm. Mintermom on tulo, jossa jokainen muuttuja esiintyy vain kerran - joko negaatiolla tai ilman. Muuttujat, joiden rivin arvo on nolla, sisällytetään mintermiin negatiivisesti, ja muuttujat, joiden arvo on 1, sisällytetään ilman negatiivista.
2. Yhdistä kaikki mintermit käyttämällä disjunktiooperaatiota (loogista yhteenlaskua), joka antaa tietyn totuustaulukon tulojen vakiosumman.

Logiikkafunktiot

Mitä tahansa loogista lauseketta (yhdistelmälauseketta) voidaan pitää loogisena funktiona F(X1,X2, ..., Xn) joiden argumentit ovat loogisia muuttujia X1, X2, ..., Xn(yksinkertaiset lausunnot). Itse funktiolla, kuten argumenteilla, voi olla vain kaksi eri arvoa: "true" (1) ja "false" (0).
Kahden argumentin toimintoja käsiteltiin edellä: looginen kertolasku IHANA)= A&B, looginen lisäys IHANA)= AVB, ja myös looginen negaatio F(A) = ¬A, jossa toisen argumentin arvon voidaan katsoa olevan nolla.
Jokaisella kahden argumentin Boolen funktiolla on neljä mahdollista argumenttiarvojoukkoa. Saattaa olla olemassa N= 24 = 16 erilaista loogista funktiota kahdelle argumentille.
Näin ollen kahdella argumentilla on 16 erilaista loogista funktiota, joista jokainen on annettu omalla totuustaulukollaan:

VAIKUTUKSET (LOOGINEN SEURANTA).

Kahden lauseen A ja B implikaatio vastaa konjunktiota "JOS...SIIN". Se osoitetaan symbolilla →
Kirjoitus A → B luetaan seuraavasti: "A:sta seuraa B".
Kahden väitteen implikaatio on aina tosi, paitsi jos ensimmäinen väite on tosi ja toinen epätosi.
Kahden lauseen A ja B implikaatioiden totuustaulukko on seuraava:

Ekvivalenssi (LOOGINEN TASA-ARVO, Identiteettifunktio)

Se on merkitty symboleilla ≡ tai. ("silloin ja vain silloin").
Merkintä A ≡ B tarkoittaa "A vastaa B:tä".
Kahden väitteen ekvivalenssi on tosi vain niissä tapauksissa, joissa molemmat väitteet ovat vääriä tai molemmat ovat tosia.
Totuustaulukko kahden lauseen A ja B vastaavuudelle on seuraava:

Loogiset lait ja säännöt loogisten lausekkeiden muuntamiseen

Propositiologiikan kaavojen ekvivalentteja kutsutaan usein logiikan lakeja. Logiikan lait heijastavat loogisen ajattelun tärkeimpiä malleja.

Propositioalgebrassa logiikan lait kirjoitetaan kaavojen muodossa, jotka mahdollistavat loogisten lausekkeiden vastaavat muunnokset logiikan lakien mukaisesti. Logiikan lakien tunteminen antaa sinun tarkistaa päättelyn ja todisteiden oikeellisuuden. Näiden lakien rikkominen johtaa loogisiin virheisiin ja niistä aiheutuviin ristiriitaisuuksiin. Listaamme niistä tärkeimmät:

1. Identiteettilaki. itselleni:

1. Identiteettilaki. Jokainen lausunto on identtinen itsensä kanssa:
Tämän lain muotoili antiikin kreikkalainen filosofi Aristoteles. Identiteettilaki toteaa, että tietyn lausunnon sisältämä ajatus pysyy muuttumattomana koko väitteen ajan, jossa tämä väite esiintyy.
2. Ristiriitaisuuden laki. Väite ei voi olla sekä totta että epätosi. Jos lausunto A - on totta, sitten sen kieltäminen ei A täytyy olla väärä. Siksi lausunnon ja sen negatiivisen loogisen tuotteen on oltava epätosi:
Ristiriitattomuuden laki sanoo, että mikään lause ei voi olla totta samaan aikaan kuin sen kieltäminen. "Tämä omena on kypsä" ja "Tämä omena ei ole kypsä"

3. Poissuljetun keskikohdan laki. Väite voi olla joko tosi tai epätosi, kolmatta vaihtoehtoa ei ole. Tämä tarkoittaa, että lauseen loogisen lisäyksen ja sen kieltämisen tulos saa aina totuuden arvon:
Poissuljetun keskikohdan laki sanoo, että jokaiselle väitteelle on vain kaksi mahdollisuutta: väite on joko tosi tai epätosi. Ei ole kolmatta.
"Tänään saan 5 tai en." Joko väite on totta tai sen kieltäminen.
4. Kaksoisnegaation laki. Jos kiellämme tietyn väitteen kahdesti, niin tuloksena saadaan alkuperäinen lause:
Kaksoisnegaation laki Väittämän kieltämisen kieltäminen on sama asia kuin tämän väitteen vahvistaminen. "Ei ole totta, että 2×2¹ 4"

5. Idempotenssin lait.

5. Idempotenssin lait. Logiikkaalgebrassa ei ole eksponenteja ja kertoimia.
Identtisten "tekijöiden" yhdistelmä vastaa yhtä niistä:
Identtisten "termien" disjunktio vastaa:
6. De Morganin lait:
De Morganin lakien merkitys (Augustus de Morgan (1806-1871) - skotlantilainen matemaatikko ja loogikko) voidaan ilmaista lyhyillä verbaalisilla formulaatioilla: loogisen summan negaatio vastaa termien negaatioiden loogista tuotetta;
loogisen tuotteen negaatio vastaa tekijöiden negaatioiden loogista summaa.

7. Kommutatiivisuussääntö. looginen kertolasku ja looginen yhteenlasku:

7. Kommutatiivisuussääntö. Tavallisessa algebrassa termit ja tekijät voidaan vaihtaa keskenään. Propositioalgebrassa voit vaihtaa loogisia muuttujia loogisen kertolasku- ja yhteenlaskuoperaatioiden aikana:
Looginen kertolasku:
Looginen lisäys:
8. Assosiatiivisuuden sääntö. Jos looginen lauseke käyttää vain loogista kertolaskua tai vain loogista yhteenlaskua, voit jättää sulkeet huomioimatta tai järjestää ne mielivaltaisesti:
Looginen kertolasku:
Looginen lisäys:

9. Jakavuussääntö. yleiset termit:

9. Jakavuussääntö. Toisin kuin tavallisessa algebrassa, jossa vain yhteiset tekijät voidaan ottaa pois suluista, lausealgebrassa sekä yleiset tekijät että yhteiset termit voidaan ottaa pois suluista:
Kertolaskujakauma suhteessa yhteenlaskuun:
Lisäyksen jakautuminen kertolaskuun:
12. Absorption lait:

LOOGISTEN ONGELMIEN RATKAISEMINEN

TEHTÄVÄ 1.

TEHTÄVÄ 1.
Lyonchikin, Donutin ja Barin tapausta selvitetään. Yksi heistä löysi ja piilotti aarteen. Tutkinnan aikana heistä kumpikin antoi kaksi lausuntoa.
Baari: "En tehnyt sitä. Donitsi teki sen"
Lenchik: "Donitsi ei ole syyllinen. Baari teki sen"
Donitsi: "En tehnyt sitä. Lyonchik ei tehnyt tätä."
Oikeus totesi, että toinen heistä valehteli kahdesti, toinen kertoi totuuden kahdesti, kolmas valehteli kerran ja kertoi totuuden kerran. Kuka piilotti aarteen?

Ongelmia ratkaista itsenäisesti

TIETOKONEEN LOGISET PERUSTEET

Logiikkaelementit

Tietojen tietokonekäsittely perustuu J. Boolen kehittämään logiikan algebraan. Matemaattisen logiikan alan tietämystä voidaan hyödyntää erilaisten elektronisten laitteiden suunnittelussa.

Tiedämme, että 0 ja 1 logiikassa eivät ole vain numeroita, vaan jonkin maailmamme objektin tiloja, joita kutsutaan perinteisesti "falseiksi" ja "tosiksi". Tällainen esine, jolla on kaksi kiinteää tilaa, voi olla sähkövirta. Luotiin sähköisiä ohjauslaitteita - elektronisia piirejä, jotka koostuvat joukosta puolijohdeelementtejä. Tällaisia elektronisia piirejä, jotka muuntavat vain kahden kiinteän sähkövirran jännitteen signaalit, kutsutaan loogisia elementtejä.

Logiikkaelementit - nämä ovat elektronisia laitteita, jotka muuntavat niiden läpi kulkevat binääriset sähköiset signaalit tietyn lain mukaisesti.
Logiikkaelementeissä on yksi tai useampi tulo, johon syötetään sähköisiä signaaleja, jotka on perinteisesti merkitty 0 , jos sähköistä signaalia ei ole, ja 1 , jos on sähköinen signaali.
Logiikkaelementeissä on myös yksi lähtö, josta muunnettu sähköinen signaali poistetaan.
On todistettu, että kaikki tietokoneen elektroniset piirit voidaan toteuttaa käyttämällä kolmea peruslogiikkaelementtiä JA, TAI, EI.

EI portti (invertteri)

TAI portti (erotin)

JA portti (konjunktori)

Toiminnalliset kaaviot

Toimintopiirin totuustaulukko

Tyypillisten tietokonelaitteiden looginen toteutus

Tietojen käsittely tietokoneella edellyttää, että prosessori suorittaa erilaisia aritmeettisia ja loogisia operaatioita. Tätä tarkoitusta varten prosessori sisältää ns. aritmeettisen logiikkayksikön (ALU). Se koostuu useista laitteista, jotka on rakennettu edellä käsiteltyjen loogisten elementtien varaan. Tärkeimmät näistä laitteista ovat varvastossut, puolisummaimet, summaimet, kooderit, dekooderit, laskurit, rekisterit .

Selvitetään kuinka loogisia laitteita kehitetään loogisista elementeistä.

Loogisen laitteen suunnittelun vaiheet.

Loogisen laitteen suunnittelu koostuu seuraavista vaiheista:
1. Totuustaulukon rakentaminen suunnitellun solmun määritettyjen toimintaolosuhteiden perusteella (eli sen tulo- ja lähtösignaalien vastaavuuden mukaan).
2. Tietyn solmun loogisen funktion rakentaminen totuustaulukon avulla, sen muunnos (yksinkertaistaminen), mikäli mahdollista ja tarpeen.
3. Suunnitellun yksikön toimintakaavion laatiminen loogisen funktion kaavalla.
Tämän jälkeen jäljellä on vain toteuttaa tuloksena oleva järjestelmä.

Täysi yhden bitin summain.

LAUKAISTA

RS-liipaisin

ranskan kielen syvällinen opiskelu"

Tietokoneen loogiset perusteet

Tietojenkäsittelytieteen oppikirja

10 luokalle

Sisältö

§1. Logiikan perusteet……………………………………..…….…………3

§ 2. Loogiset operaatiot………………………………..…..….…..5

§ 3. Loogiset kaavat. Loogisen kaavan totuustaulukko………………………………………………..…

§ 4. Logiikan algebran peruslait. Loogisten kaavojen yksinkertaistaminen……………………………………………………11

§ 5. Loogisten tehtävien ratkaiseminen………………………………………….13

§ 6. Looginen funktio………………………………………..….18

§ 7. Tietokoneiden looginen perusta. Peruslogiikan elementit………………………………………………………………….21

§ 8. Tietokoneen loogiset elementit. Liipaisin ja summain................................................ ...................................................... ...25

Kysymyksiä itsehillintää varten……………………………………..29

§ 1. Logiikan perusteet.

Binääritietojen käsittelyprosessissa tietokone suorittaa aritmeettisia ja loogisia operaatioita. Siksi tietokoneen rakenteen ymmärtämiseksi on perehdyttävä loogisiin peruselementteihin, jotka ovat tietokoneen rakentamisen taustalla. Aloitetaan tämä johdanto logiikan peruskäsitteillä.

Itse termi "logiikka" tulee antiikin kreikkalaisesta logosta, joka tarkoittaa "sanaa, ajatusta, käsitettä, päättelyä, lakia".

Logiikka– lakien ja ajattelun muotojen tiede.

Ensimmäiset opetukset päättelyn muodoista ja menetelmistä syntyivät muinaisen idän maissa (Kiina, Intia), mutta moderni logiikka perustuu antiikin kreikkalaisten ajattelijoiden luomiin opetuksiin. Aristoteles erotti ensimmäisenä puheen loogiset muodot sen sisällöstä, tutki logiikan terminologiaa, tarkasteli yksityiskohtaisesti päätelmien ja todisteiden teoriaa, kuvasi useita loogisia operaatioita ja muotoili ajattelun peruslait.

Logiikan peruskäsitteitä ovat seuraavat.

Looginen lausunto on mikä tahansa deklaratiivinen lause, jonka suhteen voidaan yksiselitteisesti sanoa, onko se totta vai tarua.

Joten esimerkiksi lause " 6 - parillinen luku"Tulisi pitää väitteenä, koska se on totta. Lause" Rooma on Ranskan pääkaupunki" on myös väite, koska se on väärä.

lausunto- Tämä on ehdotus, joka on todistettava tai kumottava.

Esimerkiksi mikä tahansa lause on väite, joka vaatii todisteen.

Päättely- on joukko lauseita tai lauseita, jotka liittyvät toisiinsa tietyllä tavalla.

Esimerkiksi lauseen todistamisprosessia voidaan kutsua päättelyksi.

Päättely- tämä on ajattelun muoto, jonka kautta yhdestä tai useammasta tuomiosta johdetaan uusi tuomio. Päätelmät voivat olla deduktiivisia, induktiivisia tai analogisesti.

Deduktiivisessa päättelyssä päättely etenee yleisestä erityiseen. Esimerkiksi kahdesta väitteestä: "Kaikki metallit ovat sähköä johtavia" ja "elohopea on metalli", voimme päätellä, että "elohopea on sähköä johtavaa".

Induktiivisessa päättelyssä päättely etenee erityisestä yleiseen. Esimerkiksi, kun olemme todenneet, että yksittäisillä metalleilla - raudalla, kuparilla, sinkillä, alumiinilla jne. - on sähkönjohtavuusominaisuus, päätämme, että kaikki metallit ovat sähköä johtavia.

Päätelmä analogisesti siirtää tietoa kohteesta toiseen. Esimerkiksi Auringon ja Maan kemiallinen koostumus on monessa suhteessa samanlainen. Siksi, kun kemiallinen alkuaine helium, jota ei tunneta maan päällä, löydettiin auringosta, he päättelivät analogisesti, että tällainen alkuaine on olemassa maan päällä.

lauseita kuten " kaupungissaA yli miljoona asukasta", "hänellä on siniset silmät" eivät ole väitteitä, koska niiden totuuden tai valheellisuuden määrittämiseksi tarvitaan lisätietoa: mistä kaupungista tai henkilöstä keskustellaan. Tällaisia lauseita kutsutaan ns. loogisia lausekkeita.

Boolen lauseke on deklaratiivinen lause, joka sisältää suoraan tai epäsuorasti vähintään yhden muuttujan ja muuttuu lauseeksi, kun kaikki muuttujat korvataan niiden arvoilla.

Tietokenttää, joka tutkii väittämien totuutta tai vääriä, kutsutaan matemaattinen logiikka.

Aivan kuten matematiikan haara, algebra, kehitettiin kuvaamaan muuttujien toimintoja, niin myös lausealgebra tai logiikan algebra luotiin käsittelemään loogisia lausekkeita matemaattisessa logiikassa.

Logiikan algebra on matemaattisen logiikan haara, joka tutkii väitteitä niiden loogisen merkityksen (totuus tai valhe) näkökulmasta ja niihin liittyviä loogisia operaatioita.

Logiikkaalgebra syntyi 1800-luvun puolivälissä englantilaisen matemaatikon teoksissa George Boole. Sen luominen oli yritys ratkaista perinteisiä loogisia ongelmia algebrallisilla menetelmillä.

Logiikkaalgebra tarkastelee mitä tahansa väitettä vain yhdestä näkökulmasta - onko se totta vai epätosi. huomaa, että Lausunnon totuuden toteaminen on usein vaikeaa. Joten esimerkiksi lause " Intian pinta-ala valtameri on 75 miljoonaa neliömetriä. km" voidaan pitää vääränä yhdessä tilanteessa ja tosi toisessa. Epätosi - koska määritetty arvo on epätarkka eikä ole ollenkaan vakio. Tosi - jos pidämme sitä jonkinlaisena käytännössä hyväksyttävänä likiarvona.

§ 2. Loogiset operaatiot.

Tavallisessa puheessa käytetyt sanat ja lauseet "ei", "ja", "tai", "jos..., sitten", "sitten ja vain silloin" ja muiden avulla voit rakentaa uusia lausuntoja jo annetuista lausunnoista. Tällaisia sanoja ja lauseita kutsutaan loogisia yhteyksiä.

Kutsutaan lauseita, jotka on muodostettu muista lauseista loogisten konnektioiden avulla yhdiste. Lausekkeita, jotka eivät ole yhdistelmiä, kutsutaan perus.

Näin saatujen yhdistelmäväitteiden totuus tai epätosi riippuu alkeisväitteiden totuudesta tai virheellisyydestä.

Konnektiivin "ja" ilmaisemaa operaatiota kutsutaan konjunktio(lat. conjunctio - yhteys) tai looginen kertolasku ja se on merkitty pisteellä " . " (voidaan myös merkitä  tai &).

lausunto A . SISÄÄN totta jos ja vain jos molemmat väitteet A Ja SISÄÄN ovat totta.

Esimerkiksi lausunto "10 on jaollinen 2:lla ja 5 on suurempi kuin 3" totta ja väitteitä "10 ei ole jaollinen kahdella ja 5 on enintään 3", "10 ei ole jaollinen 2:lla ja 5 ei ole suurempi kuin 3", "10 ei ole jaollinen 2:lla ja 5 on enintään 3"- ovat vääriä.

Konnektiivilla "tai" (sanan ei-yksinomaisessa merkityksessä) ilmaisemaa operaatiota kutsutaan disjunktio(lat. disjunctio - jako) tai looginen lisäys ja se on merkitty v-merkillä (tai plus-merkillä).

lausunto A v B väärin, jos ja vain jos molemmat väitteet A Ja SISÄÄN väärä.

Esimerkiksi lausunto "10 ei ole jaollinen kahdella tai 5 ei ole suurempi kuin 3" vääriä ja väitteitä "10 on jaollinen 2:lla tai 5:llä suurempi kuin 3", "10 on jaollinen 2:lla tai 5:llä enintään 3", "10 ei ole jaollinen 2:lla tai 5:llä suurempi kuin 3"- totta.

Sanalla "ei" ilmaistua operaatiota kutsutaan looginenkieltäminen tai inversio ja se osoitetaan lauseen yläpuolella olevalla rivillä (tai merkillä ).

lausunto  A totta kun A väärä ja väärä milloin A totta.

Esimerkiksi, " Kuu on Maan satelliitti"(Totuus;" Kuu ei ole Maan satelliitti" ( A) - väärä.

Konnektiivisilla "jos..., sitten", "alkaen... seuraa", "... viittaa..." ilmaistavaa operaatiota kutsutaan seuraamus(latinaksi impliko - läheisesti sukua) ja se osoitetaan merkillä .

lausunto A SISÄÄN väärä jos ja vain jos A totta, mutta SISÄÄN väärä.

Miten implikaatio yhdistää kaksi peruslausetta?

Osoitetaan tämä esimerkin avulla: "tämä nelikulmio on neliö" (A) Ja "Ympyrä voidaan rajata tietyn nelikulmion ympärille"(SISÄÄN). Harkitse yhdistelmälausetta A SISÄÄN, ymmärretään "Jos annettu nelikulmio on neliö, sen ympärille voidaan piirtää ympyrä."

Syödä kolme vaihtoehtoa, kun lausunto A SISÄÄN totta:

A totta ja SISÄÄN totta, eli tämä nelikulmio on neliö ja sen ympärille voidaan rajata ympyrä;

A väärä ja SISÄÄN totta, eli tämä nelikulmio ei ole neliö, vaan sen ympärille voidaan kuvata ympyrä (tämä ei tietenkään päde jokaiselle nelikulmiolle);

A väärä ja B false, eli tämä nelikulmio ei ole neliö, eikä sen ympärille voida piirtää ympyrää.

Vain yksi vaihtoehto on epätosi, kun A on tosi ja B on epätosi, eli tämä nelikulmio on neliö, mutta sen ympärillä olevaa ympyrää on mahdotonta kuvata.

Konnektiivien "jos ja vain silloin", "tarpeen ja riittävän", "...vastaavasti..." ilmaistavaa operaatiota kutsutaan vastaava tai kaksinkertainen implikaatio ja sitä merkitään  tai ~.

lausunto A SISÄÄN totta jos ja vain jos arvot A Ja SISÄÄN täsmätä.

Esimerkiksi lausunnot "24 on jaollinen 6:lla, jos ja vain jos 24 on jaollinen kolmella", "23 on jaollinen 6:lla, jos ja vain jos 23 on jaollinen kolmella" ovat totta ja väitteitä "24 on jaollinen 6:lla, jos ja vain jos 24 on jaollinen 5:llä", "21 on jaollinen 6:lla, jos ja vain jos 21 on jaollinen kolmella" väärä.

lausunnot A Ja SISÄÄN, muodostaen yhdistetyn lausunnon A SISÄÄN, voivat olla sisällöltään täysin riippumattomia, esimerkiksi: "kolme on enemmän kuin kaksi" (A), "Pingviinit elävät Etelämantereella" (SISÄÄN). Näiden väitteiden negatiivit ovat väitteitä "kolme ei ole enemmän kuin kaksi"( A), "pingviinit eivät asu Etelämantereella"( B). Muodostunut lausunnoista A Ja SISÄÄN yhdistetyt lausunnot A B Ja  A  B ovat totta ja väitteitä A  B Ja  A B- ovat vääriä.

§ 3. Loogiset kaavat. Looginen totuustaulukko

kaavat.

Loogisten muuttujien ja loogisten operaatioiden symbolien avulla mikä tahansa lause voi olla virallistaa tuo on korvata loogisella kaavalla.

Määritelmä looginen kaava:

Jokainen looginen muuttuja ja symbolit "tosi" ("1") ja "false" ("0") ovat kaavoja.

Jos A ja B ovat kaavoja, niin  A, A. B, A v B, A  B, A  B ovat kaavoja.

3. Logiikkaalgebrassa ei ole muita kaavoja.

Lauseke 1 määrittelee alkeiskaavoja; kohdassa 2 annettu säännöt uusien kaavojen muodostamiseksi mistä tahansa annetusta kaavasta.

Harkitse esimerkiksi väitettä "Jos ostan omenoita tai aprikooseja, teen hedelmäpiirakan." Tämä lausunto on muotoiltu muodossa (A v B) C. Sama kaava vastaa lausetta "Jos Igor osaa englantia tai japania, hän saa paikan kääntäjänä."

Kuten kaavan analyysi osoittaa (A v B) C, tietyille muuttujaarvojen yhdistelmille A, B Ja C se saa arvon "true" ja joillekin muille yhdistelmille arvon "false". Tällaisia kaavoja kutsutaan mahdollinen.

Jotkut kaavat hyväksyvät arvon "true" kaikille niihin sisältyvien muuttujien totuusarvoille. Esimerkiksi kaava A v A, joka vastaa lausuntoa "Onko tämä kolmio oikea vai ei?" on totta sekä kun kolmio on oikea, että kun kolmio ei ole oikea. Tällaisia kaavoja kutsutaan identtiset todelliset kaavat tai tautologiat. Lausekkeita, jotka on formalisoitu tautologioilla kutsutaan loogisesti oikeita väitteitä.

Toisena esimerkkinä harkitse kaavaa A .  A, joka vastaa esimerkiksi lausetta "Katya on luokan pisin tyttö, ja luokassa on Katyaa pidempiä tyttöjä." Ilmeisesti tämä kaava on väärä, koska jompikumpi A, tai  A välttämättä väärä. Tällaisia kaavoja kutsutaan identtisiä vääriä kaavoja tai ristiriitoja. Lausuntoja, jotka on formalisoitu ristiriitaisuuksilla, kutsutaan loogisesti vääriä väitteitä.

Jos kaksi kaavaa A ja B samanaikaisesti, eli niihin sisältyvien muuttujien identtisillä arvojoukoilla, saavat samat arvot, niitä kutsutaan vastaava.

Kahden loogisen algebrakaavan vastaavuus ilmaistaan symbolilla "=" Kaavan korvaaminen toisella sitä vastaavalla on ns. vastaava muunnos tästä kaavasta.

Olemme tarkastelleet viittä loogista operaatiota : negaatio, konjunktio, disjunktio, implikaatio ja ekvivalenssi.

Seuraamus voidaan ilmaista kautta disjunktio Ja kieltäminen:

A  B =  Аv В.

Vastaavuus voidaan ilmaista kautta kieltäminen , disjunktio Ja konjunktio :

A  B = ( A v B) . ( Bv A).

Täten, toiminnotnegaatio, disjunktio ja konjunktio riittää kuvaamaan ja käsittelemään loogisia lauseita.

Loogisen kaavan totuustaulukko– taulukko, joka ilmaisee vastaavuuden kaikkien mahdollisten muuttujaarvojen ja kaavaarvojen välillä.

Kaksi muuttujaa sisältävässä kaavassa on vain neljä tällaista muuttujaarvojoukkoa: (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1).

Jos kaava sisältää kolme muuttujaa, niin tällaisia joukkoja on kahdeksan: (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0) , 0) , (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1).

Neljän muuttujan kaavan joukkojen lukumäärä on kuusitoista jne. Eli jos N on siis muuttujien lukumäärä 2 N– muuttujien arvojen joukkojen lukumäärä.

Perusloogisten kaavojen totuustaulukko

Yhteys

Disjunktio

Inversio

Seuraamus

Vastaavuus

klo

x v

klo

X  klo

 X

klo

X  v

klo

X  v

Kätevä tallennusmuoto, kun löydetään useita loogisia operaatioita sisältävän kaavan arvot, on taulukko, jossa muuttujien arvojen ja kaavan arvojen lisäksi arvot

välikaavat.

Esimerkkejä.

1. Luodaan kaavalle totuustaulukko  x v  (X y) X, joka sisältää kaksi muuttujaa x ja y. Taulukon kahteen ensimmäiseen sarakkeeseen kirjoitamme neljä mahdollista näiden muuttujien arvoparia, seuraaviin sarakkeisiin - välikaavojen arvot ja viimeiseen sarakkeeseen - kaavan arvo.

Muuttujat

Kaava

klo

 X

 x v

X  klo

 (X  y)

 x v   (x  y)

 x v   (x  y)  x

Taulukosta se on selvää kaikille muuttujien x ja y arvojoukoille kaava saa arvon 1, eli on identtinen tosi .

2. Totuustaulukko kaavalle: (x  y) · (x · y)

Muuttujat

Välitason loogiset kaavat

Kaava

klo

X  klo

 (X  y)

 klo

X ·  klo

 (X  y) · (x · y)

Taulukosta se on selvää kaikille muuttujien x ja y arvojoukoille kaava ottaa arvon 0, eli on identtisesti vääriä .

3. Totuustaulukko kaavalle: (X  y)  X ·z

Muuttujat

Välitason loogiset kaavat

Kaava

 klo

X   v

 (X   y)

 X

 X · z

 (X   y)   x z

Taulukko osoittaa, että joissakin tapauksissa kaava saa arvon 1 ja toisissa - 0, eli se on mahdollista.

§ 4. Logiikan algebran peruslait. Yksinkertaistaminen

loogisia kaavoja.

Loogisten kaavojen ekvivalenteilla muunnoksilla on sama tarkoitus kuin kaavojen muunnoksilla tavallisessa algebrassa. Niiden tarkoituksena on yksinkertaistaa kaavoja tai pelkistää ne tiettyyn muotoon käyttämällä loogisen algebran peruslakeja.

Alla kaavan yksinkertaistaminen, joka ei sisällä implikaatio- ja ekvivalenssioperaatioita, ymmärrämme vastaavan muunnoksen, joka johtaa kaavaan, joka joko sisältää alkuperäiseen verrattuna pienemmän määrän konjunktio- ja disjunktiooperaatioita eikä sisällä ei-alkeiskaavojen negaatioita, tai sisältää pienemmän määrän muuttujia.

Logiikan algebrassa seuraavat peruslait täyttyvät, mikä mahdollistaa tuotannon loogisten lausekkeiden identiteettimuunnokset.

Laki

Esitys

algebrlogiikassa

Kommutatiivinen (kommutatiivinen)

a  b = b  a, a  b = b  a

Konjunktiivi (assosiatiivinen)

a  (b  c) = (a  b)  c,

a  (b  c) = (a  b)  c

Distributiivinen (distributiivinen)

a  (b  c) = (a  b)  (a  c) ,

a  (b  c) = (a  b)  (a  c)

De Morganin säännöt

 (a  b) =  a  b ,

 (a  b) =  a  b

Kaksoisnegaation laki (involuutio)

  a = a

Toiminnot muuttujan ja sen inversion kanssa

a   a = 0, a  a =1

Toiminnot vakioilla

a  1 = 1, a  1 = a,

a  0 = a, a  0 = 0

Idempotenssin lait

a  a = a , a  a = a

Absorption lait

x  (x  y) = x, x  (x  y) = x

Liimauksen lait

(x  y)  ( x  y) = y,

(x  y)  ( x  y) = y

Jotkut loogisten kaavojen muunnokset ovat samanlaisia kuin tavallisessa algebrassa olevien kaavojen muunnokset(poistamalla yhteinen tekijä suluista, käyttämällä kommutatiivisia ja assosiatiivisia lakeja jne.), kun taas muut muunnokset perustuvat ominaisuuksiin, joita tavallisen algebran operaatioilla ei ole(distributiivisen lain käyttö konjunktiossa, absorptiolait, liimaus, de Morgan jne.).

Katsotaanpa joitain esimerkkejä tekniikoita ja menetelmiä, joita käytetään loogisten kaavojen yksinkertaistamiseen.

Esimerkki 1.

 (X  y) (x)  y) =  X · y (x) y) = x · x · y · y = 0 · y · y = 0 · y =0
(Loogisen algebran lakeja sovelletaan seuraavassa järjestyksessä: de Morganin sääntö, yhdistelmälaki, muuttujan operaatiosääntö sen inversioineen ja operaatioiden sääntö vakioilla).

Esimerkki 2.

 x v  (X  y)  X =  x v  X · klo x = x (y y) x = X x =1
(De Morganin sääntöä sovelletaan, yhteinen tekijä otetaan pois suluista, käytetään muuttujaoperaatioiden sääntöä sen inversiolla).

Esimerkki 3.

(X  y) · (  X  y) · (  X   y) = (x y) · ( X y) · ( X y) · ( X  y) =y ·  X
(Toinen tekijä toistetaan, mikä on idempotenssilain sallima; sitten yhdistetään kaksi ensimmäistä ja kaksi viimeistä tekijää ja käytetään liimauksen lakia).

Esimerkki 4.

 (x v   z ) =  (x · y) ·  z =  (x · y) · z
(Ensin varmistamme, että negatiivinen merkki näkyy vain yksittäisten muuttujien edessä, ei niiden yhdistelmien edessä, tähän sovelletaan De Morganin sääntöä; sitten käytämme kaksoisnegaation lakia);

Esimerkki 5.

x v x · y ·z  x · r ·z= x · (y  y · z  z · р) = x · (y · (1  z )  z · р) =

= x (y z · R)

(Yleiset tekijät otetaan pois suluista; käytetään vakiooperaatioiden sääntöä);

Esimerkki 6.

x  y  x y z  x  y z  x  (y z)= x (  y  y z   y z   (y z)) =

= x · (( y  y · z )  (y · z   (y · z )) = x · ( y  y · z  1) = x · 1 =x
(Yleinen tekijä x otetaan pois suluista, suluissa olevat termit yhdistetään - ensimmäinen kolmannen kanssa ja toinen neljännen kanssa, disjunktioon sovelletaan muuttujan toiminnan sääntöä sen käänteisversiolla);

Näistä esimerkeistä käy selväksi, että loogisia kaavoja yksinkertaistettaessa ei aina ole selvää, mitä loogisen algebran lakeja tulisi soveltaa tietyssä vaiheessa. Taidot tulevat kokemuksen myötä.

§ 5. Loogisten ongelmien ratkaiseminen.

Loogisten ongelmien kirjo on erittäin suuri. On myös monia tapoja ratkaista ne. Mutta yleisimpiä ovat seuraavat kolme menetelmää loogisten ongelmien ratkaisemiseksi:

logiikan algebran avulla;

taulukkomainen;

päättelyn kautta.

Tutustutaan heihin yksitellen.

I. Loogisten ongelmien ratkaiseminen loogisen algebran avulla

Seuraavaa käytetään yleisesti ratkaisukaavio:

ongelman tilaa tutkitaan;

loogisten lauseiden merkintäjärjestelmä otetaan käyttöön;

muodostetaan looginen kaava, joka kuvaa loogiset yhteydet kaikkien ongelmaehtojen lausekkeiden välillä;

tämän loogisen kaavan totuusarvot määritetään;

Saatuista kaavan totuusarvoista määritetään syötettyjen loogisten lauseiden totuusarvot, joiden perusteella tehdään johtopäätös ratkaisusta.

Esimerkki 1. Kolme ystävää, Formula 1 -fanit, kiistivät tulevan kilpailun tuloksista.

- Näet, Schumacher ei ole ensimmäinen, John sanoi. Hill on ensimmäinen.

- Ei, voittaja on, kuten aina, Schumacher, Nick huudahti. - Alesista ei ole mitään sanottavaa, hän ei ole ensimmäinen.

Peter, jonka puoleen Nick kääntyi, oli närkästynyt:

- Hill ei näe ensimmäistä sijaa, mutta Alesi lennättää tehokkaimman auton.

Kilpa-vaiheen lopussa kävi ilmi, että molemmat kahden ystävän oletukset vahvistivat ja molemmat kolmannen ystävän oletukset olivat vääriä. Kuka voitti kilpailuvaiheen?

Ratkaisu.

Otetaan käyttöön loogisten lauseiden merkintätapa:

Sh- Schumacher voittaa; X- Hill voittaa; A- Alesi voittaa.

Nickin rivi "Alesi pilotoi tehokkaimman auton" ei sisällä mitään lausuntoa paikasta, johon tämä kuljettaja tulee, joten sitä ei oteta huomioon jatkokeskusteluissa.

Tallennetaan jokaisen ystävän lausunnot:

John:  L · X, Nick: Sh · A, Peter:  X

Ottaen huomioon, että kahden ystävän oletukset vahvistuivat ja kolmannen oletukset olivat vääriä, kirjoitamme ylös ja yksinkertaistamme tosi väittämän

( L · X)·(L · A) · Х  ( L · Х)· (L · А)· Х   ( L · X)·(L · A)·  X = =( L · X · L · A · X) ( L · X ·  (L · A) ·  X) (L  X) · L · A ·  X = = 0  0  W · A ·  X = W · A ·  X

lausunto Sh · A · X totta vain kun W = 1, A = 0, X = 0.

Vastaus. Kilpailuvaiheen voittaja oli Schumacher.

II. Loogisten ongelmien ratkaiseminen totuustaulukoiden avulla.

Tätä menetelmää käytettäessä tehtävän sisältämät ehdot ja päättelyn tulokset kirjataan erityisesti laadituilla taulukoilla.

Esimerkki 2. Sinfoniaorkesteri palkkasi kolme muusikkoa: Brownin, Smithin ja Wissonin, jotka osasivat soittaa viulua, huilua, alttoviulua, klarinettia, oboea ja trumpettia.

On tiedossa, että:

Smith on korkein;

viulunsoittaja on lyhyempi kuin huilunsoitin;

viulun ja huilun soittajat ja Brown rakastavat pizzaa;

kun alttoviulistin ja trumpetinsoittajan välille syntyy riita, Smith sovittaa heidät;

Brown ei osaa soittaa trumpettia tai oboea.

Mitä instrumentteja kukin muusikko soittaa, jos kumpikin soittaa kahta soitinta?

Ratkaisu.

Tehdään taulukko ja kuvataan siinä tehtävän ehdot täyttämällä vastaavat solut numeroilla 0 ja 1 sen mukaan, onko vastaava väite epätosi vai tosi.

Koska muusikoita on kolme, soitinta kuusi ja jokainen soittaa vain kahta soitinta, käy ilmi, että jokainen soittaa instrumentteja, joita muut eivät tunne.

Ehdosta 4 seuraa, että Smith ei soita alttoviulua tai trumpettia, ja ehdoista 3 ja 5, että Brown ei voi soittaa viulua, huilua, trumpettia ja oboea. Siksi Brownin instrumentit ovat alttoviulu ja klarinetti. Laitetaan tämä taulukkoon ja täytä "alttoviulu"- ja "klarinetti"-sarakkeiden loput solut nollilla:

viulu

huilu

altto

klarinetti

oboe

putki

Ruskea

Smith

Visson

Taulukosta näkyy, että vain Visson osaa soittaa trumpettia.

Ehdoista 1 ja 2 seuraa, että Smith ei ole viulisti. Koska Brown ja Smith eivät soita viulua, Wisson on viulisti. Molemmat Vissonin soittamat instrumentit on nyt määritelty, joten kielen "Visson" jäljellä olevat solut voidaan täyttää nolilla:

viulu

huilu

altto

klarinetti

oboe

putki

Ruskea

Smith

Visson

Taulukosta näkyy, että vain Smith osaa soittaa huilua ja oboea.

viulu

huilu

altto

klarinetti

oboe

putki

Ruskea

Smith

Visson

Vastaus: Brown soittaa alttoviulua ja klarinettia, Smith soittaa huilua ja oboea ja Wisson soittaa viulua ja trumpettia.

Esimerkki 3. Kolme luokkatoveria - Vlad, Timur ja Yura tapasivat 10 vuotta valmistumisen jälkeen. Kävi ilmi, että yhdestä heistä tuli lääkäri, toisesta fyysikko ja kolmannesta lakimies. Yksi rakastui matkailuun, toinen juoksemiseen ja kolmas rugbyyn.

Yura sanoi, että hänellä ei ole tarpeeksi aikaa matkailuun, vaikka hänen sisarensa on perheen ainoa lääkäri ja innokas turisti.

Lääkäri sanoi jakavansa kollegansa intohimon.

Hassua, mutta kahdella ystävällä ei ole ainuttakaan kirjainta heidän ammattinsa ja harrastustensa nimissä.

Selvitä, kuka haluaa tehdä mitä vapaa-ajallaan ja kenellä on mikä ammatti.

Ratkaisu.

Tässä alkutiedot jaetaan kolmoisiksi (nimi - ammatti - harrastus).

Yuran sanoista käy selväksi, että hän ei ole kiinnostunut matkailusta eikä hän ole lääkäri. Lääkärin sanoista seuraa, että hän on turisti.

Nimi

Yura

Ammatti

lääkäri

innostus

matkailua

Sanassa "lääkäri" oleva kirjain "a" osoittaa, että Vlad ei myöskään ole lääkäri, joten Timur on lääkäri. Hänen nimensä sisältää kirjaimet "t" ja "r", jotka löytyvät sanasta "turismi", joten hänen toinen ystävänsä, jonka ammatin ja harrastusten nimissä ei esiinny ainuttakaan kirjainta hänen nimestään - Yura. Yura ei ole asianajaja tai rugby-pelaaja, koska hänen nimensä sisältää kirjaimet "u" ja "r". Siksi meillä on vihdoin:

Nimi

Yura

Timur

Vlad

Ammatti

fyysikko

lääkäri

lakimies

innostus

juosta

matkailua

rugby

Vastaus. Vlad on lakimies ja rugbypelaaja, Timur on lääkäri ja turisti, Yura on fyysikko ja juoksija.

III. Loogisten ongelmien ratkaiseminen päättelyn avulla

Tätä menetelmää käytetään yleensä yksinkertaisten loogisten ongelmien ratkaisemiseen.

Esimerkki 4. Vadim, Sergey ja Mikhail opiskelevat erilaisia vieraita kieliä: kiinaa, japania ja arabiaa. Kun kysyttiin, mitä kieltä kukin heistä opiskeli, yksi vastasi: "Vadim opiskelee kiinaa, Sergei ei opiskele kiinaa eikä Mihail opiskele arabiaa." Myöhemmin kävi ilmi, että tässä vastauksessa vain yksi väite on totta ja kaksi muuta ovat vääriä. Mitä kieltä jokainen nuori oppii?

Ratkaisu. On kolme lausuntoa:

Vadim opiskelee kiinaa;

Sergei ei opiskele kiinaa;

Mihail ei opiskele arabiaa.

Jos ensimmäinen väite on totta, niin toinenkin on totta, koska nuoret miehet oppivat eri kieliä. Tämä on ristiriidassa ongelman väittämän kanssa, joten ensimmäinen väite on väärä.

Jos toinen väite on tosi, ensimmäisen ja kolmannen on oltava epätosi. Osoittautuu, että kukaan ei opiskele kiinaa. Tämä on ristiriidassa ehdon kanssa, joten myös toinen väite on väärä.

Vastaus: Sergey opiskelee kiinaa, Mihail japania, Vadim arabiaa.

Esimerkki 5. Venäjän, Yhdysvaltojen ja Kiinan ulkoministerit keskustelivat suljettujen ovien takana kunkin maan esittämästä sopimusluonnoksesta täydellisestä aseistariisunnasta. Sitten ministerit vastasivat toimittajien kysymykseen: "Kenen hanke tarkalleen hyväksyttiin?", ministerit antoivat seuraavat vastaukset:

Venäjä - "Hanke ei ole meidän, projekti ei ole USA";
USA - "Se ei ole venäläinen projekti, se on kiinalainen projekti";
Kiina - "Projekti ei ole meidän, se on Venäjän projekti."

Yksi heistä (julkisin) kertoi totuuden molemmilla kerroilla; toinen (salaisin) valehteli molemmat kertaa, kolmas (varovainen) kertoi totuuden kerran ja toisen kerran - valheen.

Selvitä, mitä maita rehelliset, salaperäiset ja varovaiset ministerit edustavat.

Ratkaisu. Tallennuksen helpottamiseksi numeroidaan diplomaattien lausunnot:

Venäjä - "Hanke ei ole meidän" (1), "Projekti ei ole USA" (2);
USA - "Not Russia Project" (3), "China Project" (4);
Kiina - "Hanke ei ole meidän" (5), "Venäjän projekti" (6).

Selvitetään, kuka ministereistä on suorapuheisin.

Jos tämä on venäläinen ministeri, niin kohtien (1) ja (2) pätevyydestä seuraa, että Kiinan projekti voitti. Mutta sitten molemmat Yhdysvaltain ulkoministerin lausunnot ovat myös totta, mikä ei ehdon mukaan voi olla niin.

Jos suorapuheisin on USA:n ministeri, niin taas saamme Kiinan hankkeen voiton, mikä tarkoittaa, että molemmat Venäjän ministerin lausunnot ovat myös totta, mikä ei voi olla totta.

Osoittautuu, että Kiinan ministeri oli suorapuheisin. Itse asiassa siitä tosiasiasta, että (5) ja (6) ovat totta, seuraa, että Venäjän hanke voitti. Ja sitten käy ilmi, että Venäjän ministerin kahdesta lausunnosta ensimmäinen on väärä ja toinen totta. Molemmat Yhdysvaltain ulkoministerin lausunnot ovat vääriä.

Vastaus: Kiinan ministeri oli suorapuheisempi, Venäjän ministeri varovaisempi ja Yhdysvaltain ministeri salaperäisempi.

§ 6. Looginen toiminto.

Logiikkaalgebrassa yksinkertaiset lauseet korvataan loogisilla muuttujilla, muuten muuttujien arvot voivat olla vain 0 ja 1. Loogiset konnektiivit korvataan niitä vastaavilla matemaattisilla symboleilla. Tässä tapauksessa monimutkainen lause muuttuu loogiseks funktioksi.

Looginen toiminto F joukosta loogisia muuttujia (a, b, c, ...) kutsutaan funktioksi, joka voi ottaa vain kaksi arvoa: 0 ja 1.

F(a, b) = a  b - looginen kertolasku (konjunktio).

F (a, b) = a v b - looginen summa (disjunktio).

F (a) =  a - negaatio (inversio).

F(a, b) = a  b - implikaatio.

F(a, b) = a  b - vastaavuus.

Logiikkafunktiot voidaan laskea totuustaulukoiden avulla.

Loogisen funktion totuustaulukko riippuu loogisten muuttujien lukumäärästä ja sisältää 2n muuttujajoukkoa.

Esimerkki 1: Loogisen funktion arvon laskeminen

F (a , b ) =  (a v b )  (a   b )

Valitaan loogiset välifunktiot ja täytetään totuustaulukko vastaaville loogisten muuttujien joukoille.

a v b

 (a v b)

 b

a  b

F(a, b)

Taulukko osoittaa, että mille tahansa loogisten muuttujien joukolle funktio F (a, b) on identtisesti nolla.

Esimerkki 2. Loogisen funktion arvon laskeminen annetuille muuttujien arvoille.

F (a, b, c) = a v b  (a  c   b).

Laskea: F (1, 0, 1).

Ratkaisu:

F (1, 0, 1) = 1 v 0  (1  1   0)

Suluissa olevan lausekkeen arvoa ei tarvitse laskea, koska sitten suoritetaan 0:n konjunktio ja suluissa olevat lausekkeet. Sitten meillä on:

F (1, 0, 1) = 1 v 0 = 1.

Vastaus: F (1, 0, 1) = 1.

Totuustaulukoiden konstruointimenetelmää käytetään myös merkintämuodoltaan erilaisten loogisten funktioiden loogisen yhtäläisyyden osoittamiseen. Lisäksi, jos funktioiden arvot ovat samat kaikissa identtisissä loogisten muuttujien joukoissa, niitä kutsutaan ekvivalenteiksi.

Kahta loogista funktiota kutsutaan vastaava, jos funktion arvot ovat samat kaikilla identtisillä loogisten muuttujien sarjoilla.

Esimerkki 3. Todiste kahden loogisen funktion yhtäläisyydestä.

Todistakaamme, että funktiot F 1 ( a , b ) =  a v b Ja F 2 ( a , b ) = a  b ovat samanarvoisia.

 a

 a v b

a  b

Taulukosta päätämme, että kaikilla identtisillä loogisten muuttujien joukoilla funktioiden arvot ovat samat, joten ne ovat ekvivalentteja.

Logiikkalakien soveltamisen avulla voit vähentää loogisten lausekkeiden muuttujien määrää ja yksinkertaistaa loogisia toimintoja.

Myös logiikan lait pätevät loogisten funktioiden rakentamiseen totuustaulukoiden avulla. Tässä tapauksessa on ohjattava seuraavaa sääntöä:

Muodosta jokaiselle totuustaulukon riville yksikköarvolla mintermi (muuttujien konjunktio), jossa muuttujan tulee esiintyä kerran (ilman negaatiota tai negatiivisesti). Jos totuustaulukossa muuttujilla on nolla arvoa peräkkäin, ne syöttävät mintermin negaatiolla ja muuttujat, joiden arvo on yksi, syöttävät mintermin ilman negatiivista.

Yhdistä kaikki mintermit käyttämällä disjunktiotoimintoa.

Yksinkertaista tuloksena olevaa loogista kaavaa, jos mahdollista.

Esimerkki 4. Loogisen funktion rakentaminen annetusta totuustaulukosta.

F(a, b, c)

Valitaan rivit, joissa funktio on yhtä suuri kuin 1, ja muodostetaan niille minterms:

rivi 1:  a  b  c ;

linja 2:  a  b  c .

Yhdistetään sanat: F ( a , b , c ) =  a  b  c   a  b  c .

Yksinkertaistetaan loogista funktiota: F ( a , b , c ) =  a  b  c   a  b  c = {3} =  a  b  (  c  c ) = {6} =  a  b  1= {7} =  a  b = {4} =  ( a  b )

Meillä on siis looginen funktio F ( a , b , c ) =  ( a  b ).

§ 7. Tietokoneiden looginen perusta. Peruslogiikan elementit.

Loogisen algebran matemaattinen laite on erittäin kätevä kuvaamaan tietokonelaitteiston toimintaa, koska tietokoneen päälukujärjestelmä on binäärinen, joka käyttää numeroita 1 ja 0, ja siinä on myös kaksi loogisten muuttujien arvoa: "1" ja "0".

Tästä seuraa kaksi johtopäätöstä:

Samoilla tietokonelaitteilla voidaan käsitellä ja tallentaa sekä binäärilukujärjestelmässä esitettyä numeerista tietoa että loogisia muuttujia;

Laitteiston suunnitteluvaiheessa logiikkaalgebra mahdollistaa merkittävästi tietokonepiirien toimintaa kuvaavien loogisten toimintojen yksinkertaistamisen ja siten loogisten alkeiselementtien määrän vähentämisen, joista kymmeniä tuhansia muodostavat järjestelmän pääkomponentit. tietokone.

Tiedot ja komennot esitetään binäärisekvensseinä, joilla on eri rakenteita ja pituuksia. On olemassa useita fyysisiä tapoja koodata binääritietoa. Tietokoneiden elektronisissa laitteissa Binaariset ykköset koodataan useimmiten korkeammalla jännitetasolla kuin binaariset nollat.

Looginen elementti Tietokone on osa elektronista logiikkaa, joka toteuttaa loogisen perustoiminnon.

Tietokoneiden loogisia peruselementtejä loogisten toimintojen toteuttamiseen ovat elektroniikkapiirit AND, OR, NOT, NAND, NOR (kutsutaan myös venttiilit).

Näitä piirejä käyttämällä voit toteuttaa minkä tahansa loogisen toiminnon, joka kuvaa tietokonelaitteiden toimintaa. Tyypillisesti venttiileissä on yhdestä kahdeksaan tuloa ja yksi tai kaksi lähtöä.

Kahden loogisen tilan "1" ja "0" edustamiseksi porteissa niitä vastaavilla tulo- ja lähtösignaaleilla on toinen kahdesta asetetusta jännitetasosta. Esimerkiksi +5 volttia ja 0 volttia. Korkea taso vastaa yleensä arvoa "true" ("1") ja matala taso arvoa "false" ("0").

Jokaisella loogisella elementillä on oma symbolinsa, joka ilmaisee sen loogisen tehtävän, mutta ei osoita, millainen elektroninen piiri siihen on toteutettu. Tämä helpottaa monimutkaisten logiikkapiirien kirjoittamista ja ymmärtämistä. Loogisten elementtien toimintaa kuvataan myös totuustaulukoiden avulla.

Ja (konjunktori)

JA-piiri toteuttaa kahden tai useamman Boolen arvon konjunktion.

x. y

AND-piirin lähdössä on yksi, jos ja vain, jos niitä on kaikissa tuloissa. Kun ainakin yksi tulo on nolla, myös lähtö on nolla.

Tämän piirin lähdön z ja tulojen x ja y välinen suhde kuvataan suhteella: z = x . y

Konjunktion toiminta lohkokaavioissa osoitetaan merkillä "&" (lukea "et-merkki"), joka on lyhenne englannin sanasta ja.

TAI (disjunktori)

TAI-piiri toteuttaa kahden tai useamman loogisen arvon disjunktion.

x  y

Kun ainakin yksi TAI-piirin tulo on yksi, myös sen lähtö on yksi.

Viestintä lähtöjen välillä z tämä piiri ja tulot x Ja y kuvataan suhteella: z = x v y

Merkki "1" kaaviossa - vanhentuneesta disjunktiomerkinnästä as ">=1" (eli disjunktion arvo on yhtä suuri kuin yksi, jos operandien arvojen summa on suurempi tai yhtä suuri kuin 1).

EI (invertteri)
x

y

 (x . y)

0

0

1

0

1

1

1

0

1

1

1

0

Kaavio JA EI koostuu elementistä JA JA.

Viestintä lähtöjen välillä z ja sisäänkäynnit x Ja y kaaviot on kirjoitettu seuraavasti: z = (x . y), missä x . y lukee kuten "x:n ja y:n käännös".

NOR (lävistyselementti)

Kaavio VAI EI koostuu elementistä TAI ja invertteri ja kumoaa piirin tuloksen TAI. c)
F = a (  b   c)  (a  e d) (  a  b c)
F = a b c  a b c  a b  c d
F=a   a · (b  c)  (  a  d  g) · (b  DC   d  g h)

§ 8. Tietokoneen loogiset elementit. Liipaisin ja summain.

Laukaista on elektroninen piiri, jota käytetään laajalti tietokonerekistereissä yhden binäärikoodin numeron luotettavaan tallentamiseen. Liipaisussa on kaksi vakaata tilaa, joista toinen vastaa binaarista ykköstä ja toinen binaarista nollaa

Termi laukaista tulee englannin sanasta laukaista- salpa, liipaisin. Tämän järjestelmän merkitsemiseksi englanniksi termiä käytetään useammin varvastossu, joka käännettynä tarkoittaa "taputtelua". Tämä elektroniikkapiirin onomatopoeettinen nimi viittaa sen kykyyn melkein välittömästi siirtyä ("kytkin") sähkötilasta toiseen ja päinvastoin.

Yleisin laukaisutyyppi on ns. RS-trigger (S ja R vastaavasti englannista aseta- asennus ja nollaa- nollaa).

S0

1

1

0

1

0

0

1

1

1

bittivarasto
S Q
R  K

Analysoidaan kiikun tulojen R ja S mahdollisia arvojen yhdistelmiä käyttämällä sen piiriä ja NOR-NOT-piirin totuustaulukkoa

Jos S=“1”, R=”0” käytetään liipaisutuloihin, niin (tilasta riippumatta) “0” ilmestyy ylemmän portin Q-lähtöön. Tämän jälkeen alemman venttiilin tuloissa on R=“0”, Q=”0” ja lähtö  K tulee yhtä suureksi kuin "1".
Samalla tavalla, kun käytetään "0" tuloon S ja "1" tuloon R, lähtö  K"0" tulee näkyviin ja "1" näkyy Q:ssa.
Jos tuloihin R ja S sovelletaan loogista "1", tila Q ja  K ei muutu.
Logiikka "0":n käyttäminen sekä tuloihin R että S voi johtaa epäselviin tuloksiin, joten tämä tulosignaalien yhdistelmä on kielletty.

Koska yksi liipaisin voi muistaa vain yhden bitin binäärikoodia, tavun muistamiseen tarvitaan 8 kiikkua ja kilotavun muistamiseen tarvitaan 8 x 2 10 = 8192 kiikkua. Nykyaikaiset muistisirut sisältävät miljoonia laukaisimia.

Tietokoneen toiminnan yksinkertaistamiseksi mahdollisimman paljon matemaattisten operaatioiden koko kirjo rajoittuu binäärilukujen lisäämiseen.

Muista, että kun lisäät binäärilukuja, tiettyyn numeroon muodostuu summa, joka on myös mahdollista siirtää merkittävimpään numeroon.

Komponentit

Siirtää

Summa

A

B

P

S

0

0

0

0

0

1

0

1

1

0

0

1

1

1

1

0

Tästä taulukosta voidaan nähdä, että siirto on toteutettu loogisella elementillä "AND".

Summan kannalta sopivin looginen portti on "OR"-portti. Neljättä lukuparia lisättäessä tuloksen tulee kuitenkin olla 0, ei 1. Halutun tuloksen saavuttamiseksi voit antaa siirtosignaalin “EI”-porttiin ja sitten sen lähdöstä ja portin lähdöstä. "TAI"-portti, lähetä signaali "EI"-portille. JA". "AND"-elementin lähdössä saamme vaaditun signaalin.

A (0,0,1,1) P (0,0,0,1)

B (0,1,0,1)

0,0,0,1 1,1,1,0 S (0,1,1,0)

0,1,1,1

Tätä kaavaa kutsutaan puolisummain, koska toteuttaa yksinumeroisten binäärilukujen summauksen ottamatta huomioon siirtoa vähiten merkitsevästä numerosta.

Adder on elektroninen logiikkapiiri, joka suorittaa binäärilukujen summauksen

Summain toimii ennen kaikkea tietokoneen aritmeettis-loogisen laitteen keskusyksikkönä, mutta se löytää käyttöä myös muissa koneen laitteissa.

a i

b i

p i

p i-1

c i

Kun lisäät numerot A ja B yhdeksi i Kolmannen numeron on vastattava kolmea numeroa:

1. numero a i ensimmäinen termi;

2. numero b i toinen termi;

3. siirto s i-1 junioriluokasta alkaen.

Summauksen tuloksena saadaan kaksi numeroa: numero c i määrälle; siirto s i tästä kategoriasta senioreihin.

Täten, yksibittinen binäärisummain on laite, jossa on kolme tuloa ja kaksi lähtöä, jonka toimintaa voidaan kuvata seuraavalla totuustaulukolla:

Tulot

Poistuu

Ensimmäinen termi

Toinen termi

Siirtää

Summa

Siirtää

a i

b i

p i-1

c i

p i

0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

0

1

1

0

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

1

1

1

Jos sinun on lisättävä kahden tai useamman bitin pituisia binäärisanoja, voit käyttää tällaisten summaimien sarjaliitäntää ja kahdelle vierekkäiselle summaimelle yhden summaimen siirtolähtö on toisen tulo.

Monibittinen binaarisummain, suunniteltu moninumeroisten binäärilukujen lisäämiseen, on yksinumeroisten summainten yhdistelmä.

Esimerkiksi kaavio kahden kolminumeroisen binaariluvun A = (a 2 a 1 a 0) ja B = (b 2 b 1 b 0) summan C = (c 3 c 2 c 1 c 0) laskemiseksi, missä c 0 on summan pienin merkitsevä numero, ja 3 – summan merkittävin numero, voi näyttää tältä:

a 0 a 1 a 2

b 0 b 1 b 2

0 3:sta

s 0 s 1 s 2

Siten voimme päätellä, että loogiset elementit ovat rakennuspalikoita, joista minkä tahansa nykyaikaisen tietokoneen "rakennus" rakennetaan rakentamalla loogisia piirejä.

Itsehillintäkysymyksiä:

Mitä logiikka, matemaattinen logiikka ja logiikan algebra tutkivat?
Määrittele seuraavat käsitteet: lausunto, lausunto, päättely, päättely, looginen lauseke.
Loogiset peruskonnektiivit, alkeis- ja yhdistelmälausekkeet.
Luettele loogiset perusoperaatiot ja niiden kirjoittaminen.
Määrittele looginen kaava.
Selitä seuraavien käsitteiden merkitys: toteutettavissa oleva looginen kaava, tautologia, ristiriita, kaavan ekvivalenttimuunnos.
Kirjoita muistiin kaavat, joilla implikaatio ja ekvivalenssi korvataan muiden loogisten perusoperaatioiden yhdistelmällä.
Loogisen kaavan totuustaulukon käsite. Peruskaavojen totuustaulukot.
Mitä on kaavan yksinkertaistaminen?
Logiikan algebran peruslait.
Listaa ja luonnehdi tärkeimmät tavat ratkaista loogisia ongelmia.
Anna loogisen funktion määritelmä.
Vastaavien loogisten funktioiden käsite.
Sääntö loogisen funktion muodostamiseksi totuustaulukoiden avulla.
Tietokoneen loogisen elementin määritelmä. Peruslogiikan elementit.
Liipaisin ja summain. Vastaavat totuustaulukot ja logiikkapiirit.

Perusoperaatiot lukujen kanssa ovat yhteen- ja vähennyslasku.

1. Binäärilukujen lisääminen
0 + 0 = 0 0+1 = 1 1+0=1
1 + 1=0 + siirtoyksikkö merkittävimpään numeroon, ts. 1 + 1 = 10 2 .

Kun jokaiseen numeroon lisätään binäärilukuja, suoritetaan sääntöjen mukaisesti termien kahden numeron summa tai nämä kaksi numeroa ja yksi, jos viereisestä alemman asteen numerosta on siirtoa. Tuloksena on summan vastaavan numeron numero ja mahdollisesti myös siirtoyksikkö merkittävimpään numeroon.

Esimerkki 1. Lisää binäärijärjestelmään

2. Binäärilukujen vähentäminen suoritetaan seuraavien sääntöjen mukaisesti:
0-0 = 0 1-0=1 1-1=0 10 2 -1 = 1

Kun vähennetään tietyn numeron binäärilukuja, yksi otetaan tarvittaessa seuraavasta, merkitsevimmästä numerosta. Tämä varattu yksikkö on yhtä suuri kuin kaksi yksikköä tästä vähiten merkitsevästä numerosta. Tämä toiminto suoritetaan joka kerta, kun aliosanumeron numero on suurempi kuin samassa minuuttinumerossa oleva numero. Esimerkki 2. Vähennä seuraavat luvut binäärimuodossa:

Positiivisten ja negatiivisten lukujen operaatiot

Yleisiä etumerkittyjen numeroiden esittämismuotoja ovat niiden esittäminen suorissa, käänteis- ja komplementtikoodeissa.

Kahta viimeistä muotoa käytetään erityisen laajalti, koska ne mahdollistavat tietokoneen aritmeettis-loogisen laitteen suunnittelun yksinkertaistamisen korvaamalla erilaisia aritmeettisia operaatioita summausoperaatiolla.

Suora koodi luku muodostetaan koodaamalla luvun etumerkki nollalla, jos luku on positiivinen, ja yhdellä, jos luku on negatiivinen.

Esimerkki 1. Kuvittele positiivinen luku 127yu=1111111 2 suorassa koodissa: 0 1111111

Esimerkki 2. Kuvittele negatiivinen luku - 1)0 suorassa koodissa:

Palautuskoodi luvut saadaan kääntämällä luvun itseisarvon binäärikoodin kaikki numerot etumerkkiä lukuun ottamatta: nollat korvataan ykkösillä ja ykköset nolilla.

Esimerkki 3. Esitä alkuperäinen numero - 1 w käänteisessä koodissa:

Esimerkki 4. Kuvittele otpittyattknpe xshg.tto - 1 77 10 käänteisessä koodissa:

Numeron moduulikoodi Numeron käänteinen koodi

Lisänumerokoodi saadaan muodostamalla käänteinen koodi ja lisäämällä yksi sen vähiten merkitsevään numeroon.

Esimerkki 5. Esitä negatiivinen luku - 1yu kahden komplementtikoodissa: 11111111

Esimerkki 6. Esitä negatiivinen luku -127 kahden komplementtikoodissa:

Numeroiden lisääminen kahden komplementtiin

Esimerkki 1. Suorita seuraava aritmeettinen operaatio "-5+3".

Toimimme tässä tapauksessa seuraavasti:

3. Lisätään numeroita.

4. Jos tulos on negatiivinen, käännä kaikki luvun numerot etumerkkiä lukuun ottamatta ja lisää yksi tuloksen alemman kertaluvun numeroon.

Vastaus:- 2, joten kaikki toimet suoritettiin oikein.

Esimerkki 2. Suorita seuraava aritmeettinen operaatio "5 - 3". Suorittamalla vähennystoiminnon ja esittämällä negatiivista lukua kahden komplementtikoodissa, voit korvata vähennystoiminnon yhteenlaskulla.

1. Esitetään numerot binäärikoodissa:

2. Negatiivinen luku on esitettävä kahden komplementissa. Tätä varten käännämme kaikki luvun numerot etumerkkiä lukuun ottamatta ja lisäämme yhden tuloksen alemman kertaluvun numeroon.

3. Lisätään numeroita.

4. Jos tulos on positiivinen, etumerkkibitin siirtoyksikkö hylätään.
5. Tuloksena oleva luku tulee muuntaa desimaalilukujärjestelmäksi. Vastaus:+ 2, joten kaikki toimet suoritettiin oikein.

Loogisen algebran ja binäärikoodauksen välinen suhde

Logiikan algebra- matematiikan ala, joka tutkii väitteitä niiden loogisen merkityksen (totuus tai valhe) näkökulmasta ja niihin liittyviä loogisia operaatioita. Looginen lausunto- mikä tahansa deklaratiivinen lause, jonka voidaan selvästi todeta olevan tosi tai epätosi.

Logiikkaalgebra tutkii monimutkaisten loogisten lauseiden rakennetta (muotoa, rakennetta) ja tapoja vahvistaa niiden totuus algebrallisilla menetelmillä.

Siis esimerkiksi ehdotus "8 - tasaluku" pitäisi pitää väitteenä, koska se on totta. Tarjous "Moskova - Belgian pääkaupunki" myös väite, koska se on väärä.

Tietenkään jokainen lause ei ole looginen lausunto. Lausunnot eivät ole esimerkiksi lauseita "ensimmäisen vuoden opiskelija" Ja "jäätelö - herkullinen." Ensimmäinen virke ei kerro mitään opiskelijasta, ja toisessa käytetään liian epämääräistä käsitettä "herkullinen". Myöskään kysely- ja huutolauseet eivät ole väitteitä, koska niiden totuudesta tai valheellisuudesta ei ole mitään järkeä puhua. Ehdotuksia kuten "Kaupungissa A on yli miljoona asukasta», "Hänellä on siniset silmät”Eivät ole väitteitä, koska niiden totuuden tai valheellisuuden määrittämiseksi tarvitaan lisätietoa: mistä tietystä kaupungista tai henkilöstä puhumme.

Tällaisia lauseita kutsutaan propositiomuodoiksi. Ilmeikäs muoto- deklaratiivinen lause, joka sisältää suoraan tai epäsuorasti vähintään yhden muuttujan ja muuttuu lauseeksi, kun kaikki muuttujat korvataan niiden arvoilla.

Loogisen algebran matematiikka on erittäin hyödyllinen kuvattaessa tietokonelaitteiston toimintaa, koska peruslukujärjestelmä, jonka kanssa tietokone toimii, on binäärilukujärjestelmä, joka käyttää vain numeroita 1 ja 0.

Siksi:

- samoilla tietokonelaitteilla voidaan käsitellä ja tallentaa sekä binäärilukujärjestelmässä esitettyä numeerista tietoa että loogisia muuttujia;
- Laitteiston suunnitteluvaiheessa logiikkaalgebra mahdollistaa merkittävästi tietokonepiirien toimintaa kuvaavien loogisten toimintojen yksinkertaistamisen ja sen seurauksena loogisten alkeiselementtien määrän vähentämisen, joista kymmeniä tuhansia muodostavat pääkomponentit. tietokone.

Tietokoneen tiedot ja komennot esitetään binäärisekvensseinä, joilla on eri rakenteita ja pituuksia. On olemassa useita fyysisiä tapoja koodata binääritietoa. Tietokoneelektroniikassa binääriset koodataan useimmiten korkeammalla jännitetasolla kuin binäärinollat.

Looginen elementti Tietokone on osa elektronista logiikkaa, joka toteuttaa loogisen perustoiminnon.

Tietokoneiden yksinkertaisimmat loogiset elementit ovat elektroniset piirit "AND", "OR", "NOT", "AND-NOT", "OR-HE". Jokaisella loogisella elementillä on oma symbolinsa, joka ilmaisee sen loogisen tehtävän, mutta ei osoita, millainen elektroninen piiri siihen on toteutettu. Tämä helpottaa monimutkaisten logiikkapiirien kirjoittamista ja ymmärtämistä.

Loogisten elementtien ja loogisten funktioiden toiminta kuvataan totuustaulukoiden avulla. Totuustaulukko- tämä on taulukko, jossa loogisen funktion arvot on kirjoitettu jokaiselle 2 P syöttöargumenttijoukolle. Esimerkiksi kolmen muuttujan lausekkeen täydellinen totuustaulukko sisältää 2 3 =8 riviä, jos niitä annetaan vain 6, niin löydät 2 8 " 6 =2 2 =4 erilaista loogista lauseketta, jotka täyttävät nämä 6 riviä. Loogisen funktion täydelliseksi määrittämiseksi riittää, että luetellaan joko kaikki joukot, joille tämä funktio saa arvot yhtä suuret kuin 1, tai kaikki joukot, joille tämä funktio saa arvot yhtä suuret kuin 0.

Peruslogiikkafunktiot ja logiikkaportit

Loogisia toimintoja, jotka riippuvat yhdestä tai kahdesta muuttujasta, kutsutaan alkeisfunktioiksi. Loogiset perusfunktiot sisältävät seuraavat perusfunktiot: negaatio, looginen kertolasku, loogisen kertolasku negatiivisuus, looginen yhteenlasku, loogisen lisäyksen kieltäminen, implikaatio jne.

Negaatiofunktio on yhden argumentin looginen funktio, joka saa arvon 1, jos argumentti on 0, ja saa arvon 0, jos argumentti on 1, ja kutsutaan negaatio (inversio) tai looginen funktio "EI".

Käytämme jokapäiväisessä puheessa usein sanaa "EI" tai sanoja "SE EI OLE TOSI", kun haluamme kieltää jotain. Antaa jonkun sanoa esimerkiksi: "Ulkona on kylmä".(Merkitään tämä lausunto A.) Jos olet eri mieltä, sanot: "Ulkona EI ole kylmä." Tai: "Ei ole totta, että ulkona on kylmä." (Meritämme lausuntosi SISÄÄN.) On helppo nähdä, että lausuntojen totuus arvostaa A Ja SISÄÄN ovat tietyssä yhteydessä: jos A totta siis SISÄÄN vääriä ja päinvastoin.

Loogisen funktion "EI" merkintä voidaan merkitä muodossa F = X, jossa muuttujan päällä oleva palkki on inversion merkki, tai -iX. Yhden argumentin looginen funktio "EI" kuvataan totuustaulukolla (taulukko 8).

Taulukko 8. Loogisen funktion "EI" totuustaulukko

Looginen elementti "EI" (invertteri) toteuttaa negaatiotoiminnon. Jos tämän logiikkaelementin tulo on 0, niin lähtö on 1 ja kun tulo on 1, lähtö on 0.

Invertterin symboli lohkokaavioissa on esitetty kuvassa. 12.

Riisi. 12.

Looginen kertolaskutoiminto n argumenttia on looginen funktio, joka saa arvon 1 vain, jos kaikki argumentit ovat yhtä suuria kuin 1, ja 0 kaikissa muissa tapauksissa.

Kun lausumme konjunktion, väitämme, että molemmat lauseessa mainitut tapahtumat tapahtuvat. Esimerkiksi sanomalla: "Petrovit pitivät lomaa omalla kustannuksellaan ja menivät Krimille", ilmaisemme lausunnossamme uskomme, että molemmat tapahtumat tapahtuivat.

Kutsutaan myös loogista kertolaskua konjunktio tai "AND"-funktiolla. Loogisen kertolaskujen perusfunktio riippuu kahdesta argumentista, ja se kuvataan seuraavassa totuustaulukossa (taulukko 9).

Taulukko 9. Loogisen funktion "AND" totuustaulukko

Kun kirjoitetaan loogista funktiota “AND”, seuraavat vaihtoehdot ovat mahdollisia: F=X AY;

F=XY, jossa merkit “L”, “&”, “ ” ovat merkkejä, jotka osoittavat loogisen kertolaskua. Kaikki tallennusvaihtoehdot ovat samanarvoisia.

Riisi. 13.

Looginen elementti "AND" toteuttaa kahden tai useamman loogisen arvon konjunktion. Kahden tulon liitoksen lohkokaavioiden symboli on esitetty kuvassa. 13.

Looginen lisäystoiminto n argumenttia on looginen funktio, joka saa arvon 0 vain, jos kaikki argumentit ovat yhtä suuria kuin 0 (eli kun on n nollaa) ja 1 kaikissa muissa tapauksissa (eli kun vähintään yksi argumentti on yhtä suuri kuin yksi).

Kutsutaan myös loogista summausfunktiota disjunktio tai looginen "OR"-toiminto. Sanomalla: "Petrov katsoo televisiota tai katsoo ulos ikkunasta", tarkoitamme, että Petrov tekee ainakin yhtä asiaa. Samaan aikaan Petrov voi katsella televisiota ja katsoa ulos ikkunasta samanaikaisesti. Ja tässä tapauksessa disjunktio on totta.

Alkuainedisjunktio riippuu kahdesta argumentista, ja se kuvataan seuraavassa totuustaulukossa (taulukko 10).

Taulukko 10. Loogisen funktion "OR" totuustaulukko

Riisi. 14.

Kun kirjoitat loogista funktiota "OR", seuraavat vaihtoehdot ovat mahdollisia:

jossa merkit “V”, “+” tarkoittavat loogisen lisäyksen toimintaa.

TAI-portti toteuttaa kahden tai useamman loogisen arvon disjunktion. Kun ainakin yksi "OR"-elementin tulo on yksi, myös sen lähtö on yksi. Kahdella sisääntulolla varustetun OR-logiikkaelementin lohkokaavioiden symboli on esitetty kuvassa. 14.

Loogisen kertolaskujen negatiivinen funktio"NAND" saa arvon 0, kun kaikki argumentit ovat 1, ja 1 kaikissa muissa tapauksissa. Loogisen kertolaskujen negaatiofunktio riippuu kahdesta argumentista, ja se kuvataan seuraavassa totuustaulukossa (taulukko 11).

Taulukko 11. Totuustaulukko loogisen kertolaskujen negaatiofunktiolle

Kun kirjoitetaan loogisen kertolaskujen negaatiofunktiota, seuraavat vaihtoehdot ovat mahdollisia:

Riisi. 15.

Looginen elementti "AND-NOT" koostuu "AND"-elementistä ja invertteristä ja kumoaa AND-funktion tuloksen "AND-NOT"-loogisen elementin, jossa on kaksi tuloa, lohkokaavioiden symboli on esitetty kuvassa. 15.

Loogisen lisäyksen negaatiofunktio ottaa arvon 1, kun kaikki argumentit ovat 0, ja arvon 0 muussa tapauksessa.

Loogisen summauksen negaatiofunktio riippuu kahdesta argumentista, ja se kuvataan seuraavassa totuustaulukossa (Taulukko 12).

Taulukko 12. Loogisen lisäyksen negaatiofunktion totuustaulukko

Kun kirjoitetaan loogisen lisäyksen negaatiofunktiota, seuraavat vaihtoehdot ovat mahdollisia:

Riisi. 16.

Looginen elementti "OR-HE" koostuu "OR"-elementistä ja invertteristä ja kumoaa "OR"-loogisen funktion tuloksen. Kaksituloisen logiikkaelementin “OR-HE” lohkokaavioiden symboli on esitetty kuvassa. 16.

Monimutkaisissa lausekkeissa, joissa käytetään loogisia operaatioita "AND", "OR", "NOT", suoritetaan ensin negaatiooperaatio "EI" ja sitten konjunktio "AND". Lopuksi suoritetaan disjunktiotoiminto "OR". Jos haluat muuttaa määritettyä toimintosarjaa, käytä sulkuja lausekkeissa. Listattujen toimintojen lisäksi yksi tärkeimmistä toiminnoista on seuraamus(seuraava), jota merkitään -> ja kuvataan vastaavalla taulukolla (taulukko 13).

Taulukko 13.Implikaatiofunktion totuustaulukko

Implikaatio on looginen operaatio, joka yhdistää molemmat kaksi yksinkertaista lausetta yhdistelmälauseeseen, joka on epätosi silloin ja vain, jos ehto (ensimmäinen lause) on tosi ja seuraus (toinen lause) on epätosi.

Harkitse lausuntoa: "Jos huomenna on hyvä sää, lähden kävelylle." Tässä A= Huomenna on hyvä sää Ja B = Menen kävelylle. On selvää, että henkilö osoittautuu valehtelijaksi vain, jos sää todella osoittautuu hyväksi eikä hän mene kävelylle. Jos sää on huono, niin riippumatta siitä, meneekö hän kävelylle vai ei, häntä ei voida syyttää valehtelusta: hän lupasi lähteä kävelylle vain sillä ehdolla, että sää on hyvä.

Tavallisessa puheessa konnektiivi "jos sitten" kuvaa väitteiden välistä syy-seuraussuhdetta. Mutta loogisissa operaatioissa lauseiden merkitystä ei oteta huomioon. Vain niiden totuus tai valhe otetaan huomioon. Siksi sisällöltään täysin riippumattomien lausuntojen muodostamien implikaatioiden "merkittämättömyydestä" ei pidä joutua nolostumaan. Esimerkiksi näin: "Jos kuussa on vettä, tiikerit asuvat eläintarhassa", "jos mansikoita - marja, sitten on kaupassa leipää."

Implikaatio on ilmeisesti totta, jos ehto A on epätosi. Toisin sanoen väärästä tilasta voi seurata mitä tahansa. Esimerkiksi väite "Jos 2>3, niin krokotiilit lentävät" on totta.

Toiminta ilmaistaan yhteyksillä "silloin ja vain silloin", "tarpeellinen ja riittävä" nimeltään vastaava tai kaksoisimplikaatio ja sitä merkitään merkeillä =. Vastaavuus kuvataan vastaavassa taulukossa

Taulukko 14.Totuustaulukko ekvivalenssifunktiolle

Esimerkiksi sanomalla: "Minä Saan passin, jos ja vain, jos täytän 14 vuotta”, henkilö vakuuttaa paitsi 14-vuotiaana saavansa passin myös sen, että hän voi saada passin vasta täytettyään. 14 vuotta vanha.

Näin ollen lause XY on tosi, jos ja vain jos X:n ja Y:n arvot ovat samat. On otettava huomioon, että tarkastelemamme operaatio - implikaatio - voidaan ilmaista disjunktiolla ja negaatiolla:

ja ekvivalenssi voidaan ilmaista negaatiolla, disjunktiolla ja konjunktiolla:

Mikä lauseke F voi olla?

Rakennetaan totuustaulukko kaikille vastauksessa ehdotetuille ilmauksille:

Lasketaan loogiset lausekkeet neljälle ehdotetulle vastaukselle. Näemme, että sarakkeiden X v Y v Z ja F loogisten lausekkeiden arvot ovat samat, joten oikea vastaus on 3.

Esimerkki 2. Mille X:n ilmoitetuista arvoista väite pitää paikkansa?

Voidaan nähdä, että lauseke on lausekkeen ((X>2) -> -> (X>3) negaatio. Se on totta, kun ((X>2) -> (X>3)) on epätosi. Implikaatio on epätosi ainoassa tapauksessa: vasen lause on tosi (tapauksessamme X>2 on tosi X=3 ja X=4), ja oikea on epätosi (tämä on totta X=1, X= 2 ja X = 3). Siksi ainoa tapa, jolla tämä implikaatio on epätosi (siis alkuperäinen lauseke on tosi), on kolmas.

Algebrlogiikan peruslait

Logiikkaalgebrassa on joukko lakeja, jotka sallivat loogisten lausekkeiden vastaavat (identtiset) muunnokset. Loogisten lausekkeiden muuntamisen säännöt on esitetty taulukossa. 15.

Taulukko 15.Säännöt loogisten lausekkeiden muuntamiseen


kaksinkertainen negatiivinen	Väittämän kieltämisen kieltäminen on sama asia kuin tämän väitteen vahvistaminen
kommutatiivisia (kommutatiivinen)	A L V = V L A	A V B = B V A
assosiatiivista (assosiatiivinen)	(A L V) L S = A A (V L S)	(A v B) v C = A v (B v C)
jakavia (jakelu)	(A L B) V C = (A V B) A (A VC)	Aa(BvC) = AaBvAa C
de Morgana	A B = A" + B loogisen tuotteen negaatio vastaa tekijöiden negaatioiden loogista summaa	A + B = A -B loogisen summan negaatio vastaa termien negaatioiden loogista tuotetta
haltuunotot	A A (A V B) = A	A V A A B = A
liimaamalla	(A V B) L (-A V B) = B	(A A B) v (-A V B) = B
kolmannen eliminoiminen (muuttujan toiminta sen inversiolla)	Jokaiselle väitteelle on vain kaksi vaihtoehtoa: väite on joko tosi tai epätosi.

Loogisten toimintojen järjestys määritellään suluissa. Sulujen määrän vähentämiseksi oletetaan, että ensin suoritetaan negaatiotoiminto, sitten konjunktio ja vasta sitten disjunktio. Lopuksi implikaatio ja vastaavuus täyttyvät.

Loogisten kaavojen ekvivalenteilla muunnoksilla on sama tarkoitus kuin tavallisen matematiikan kaavojen muunnoksilla. Ne auttavat yksinkertaistamaan kaavoja ja tuomaan ne tiettyyn muotoon loogisen algebran peruslakeja käyttämällä.

Sellaisen kaavan yksinkertaistamisella, joka ei sisällä implikaatio- ja ekvivalenssioperaatioita, tarkoitamme vastaavaa muunnosa, joka johtaa kaavaan, joka:

- joko sisältää alkuperäiseen verrattuna pienemmän määrän konjunktio- ja disjunktiooperaatioita eikä sisällä ei-alkeavien kaavojen negaatioita;
- tai sisältää pienemmän määrän muuttujia.

Jotkut loogisten kaavojen muunnokset ovat samanlaisia kuin tavallisen algebran kaavojen muunnokset (yhteisen tekijän poistaminen suluista, kommutatiivisia ja kombinaatiolakeja jne.), kun taas toiset muunnokset perustuvat ominaisuuksiin, joita tavallisen algebran operaatioilla ei ole ( absorption lait, liimaus, de Morgan).

Esitetään esimerkein joitain tekniikoita ja menetelmiä, joita käytetään loogisten kaavojen yksinkertaistamiseen.

Esimerkki 1.

(loogisen algebran lakeja sovelletaan seuraavassa järjestyksessä: de Morganin sääntö, kombinaatiolaki, muuttujan operaatiosääntö sen inversioineen ja operaatioiden sääntö vakioilla).

Esimerkki 2.

(käytetään de Morganin sääntöä, yhteinen tekijä poistetaan suluista, käytetään muuttujaoperaatioiden sääntöä sen inversiolla).

Esimerkki 3. Mikä looginen lauseke vastaa lauseketta

Suoritamme muunnoksen käyttämällä de Morganin sääntöä

Kaksoisnegaation sääntöä käyttämällä päädymme seuraavaan tulokseen: Siksi oikea vastaus on 2.

Testikysymykset ja -tehtävät

1. Selitä binääriaritmetiikan säännöt.
2. Suorat, käänteiset ja täydentävät numerokoodit - selitä niiden välinen ero.
3. Mikä on yhteys binäärikoodauksen ja logiikan algebran välillä?
4. Mitä alkeellisia loogisia funktioita ja loogisia elementtejä tiedät? Anna esimerkkejä heidän totuustaulukoistaan.
5. Lisää seuraavat numerot:

6. Vähennä seuraavat luvut:

7. Kuvaile loogisen algebran ja binäärikoodauksen suhdetta. Anna esimerkkejä loogisista väitteistä.
8. Mikä on totuustaulukko?
9. Kuvaile loogista funktiota NOT. Anna sen totuustaulukko. Keksi useita lauseita käyttämällä NOT-funktiota.
10. Kuvaile loogista funktiota AND ja sen totuustaulukko. Keksi muutama lause AND-funktiolla.
11. Kuvaile loogista TAI-funktiota. Anna sen totuustaulukko. Keksi useita lauseita käyttämällä TAI-funktiota.
12. Kerro meille loogisesta operaatiosta "implikaatio". Anna sen totuustaulukko.
13. Mikä looginen lauseke vastaa lauseketta -i (A v -iB d C)?

14. Esitetään lausekkeen F totuustaulukon fragmentti.

näkymät

Tallenna VKontakte

LOGIIKAN PERUSTEET JA TIETOKONEEN LOGISET PERUSTEET

AJATTELUMUODOT

LOGIIKKA on tiede ihmisen ajattelun muodoista ja laeista ja erityisesti evidentiaalisen päättelyn laeista.

Logiikka tutkii ajattelua keinona ymmärtää objektiivista maailmaa. Logiikan lait heijastavat ihmisen tietoisuudessa ympäröivän maailman esineiden ominaisuuksia, yhteyksiä ja suhteita.

Muodollinen logiikka käsittelee tavallisten puhekielellä ilmaistujen merkityksellisten päätelmiemme analysointia. Matemaattinen logiikka tutkii vain päätelmiä tiukasti määritellyillä objekteilla ja tuomioilla, joista voidaan yksiselitteisesti päättää, ovatko ne tosia vai vääriä.

Logiikan ideoita ja laitteita käytetään kybernetiikassa, tietotekniikassa ja sähkötekniikassa (tietokoneiden rakentaminen perustuu matemaattisen logiikan lakeihin).

Ajattelun perusmuodot

Tärkeimmät ajattelun muodot ovat: KÄSITTEET, TUOMIOT, JOHTOPÄÄTÖKSET.

KONSEPTI- ajattelun muoto, joka heijastaa yksittäisen kohteen tai homogeenisten esineiden luokan olennaisia ​​piirteitä. Esimerkkejä: salkku, trapetsi, hurrikaanituuli.

Konseptilla on kaksi puolta: sisältö Ja äänenvoimakkuutta.

Käsitteen laajuus määräytyy niiden kohteiden kokonaisuuden mukaan, joita se koskee. Käsitteen "henkilökohtainen tietokone" laajuus ilmaisee koko maailmassa tällä hetkellä olemassa olevien henkilökohtaisten tietokoneiden sarjan (satoja miljoonia).

TUOMIO on ajattelun muoto, jossa jotain vahvistetaan tai kielletään esineistä, niiden ominaisuuksista ja suhteista.

Propositiot ovat yleensä deklaratiivisia lauseita, jotka voivat olla joko tosi tai epätosi.

"Bern on Ranskan pääkaupunki"

"Kuban-joki virtaa Azovinmereen",

"2>9", "3×5=10"

PÄÄTELMÄ- Tämä on ajattelun muoto, jonka kautta yhdestä tai useammasta todellisesta tuomiosta, joita kutsutaan premissiksi, saamme tiettyjen päättelysääntöjen mukaisesti uuden tuomion (päätelmän).

Kaikki metallit ovat yksinkertaisia ​​aineita. Litium on metalli.→ Litium on yksinkertainen aine.

Yksi kolmion kulmista on 90º. → Tämä kolmio on suorakulmainen.

LAUSUNTOALGEBRA

LAUSUNTO on deklaratiivinen lause, jonka voidaan sanoa olevan joko tosi tai epätosi.

Esimerkiksi: Maa - aurinkokunnan planeetta. (Totta) 2+8 (väärä) 5 5 = 25(Totta) Jokainen neliö on suuntaviiva(Totta) Jokainen suunnikas on neliö(Väärä) 2 2 = 5(Väärä)

“x-4x + 3=0"- ne eivät kerro kenestä henkilöstä puhumme tai mille numerolle X tasa-arvo on totta. Tällaisia ​​ehdotuksia kutsutaan ilmeikkäät muodot.

Ilmeikäs muoto on deklaratiivinen lause, joka sisältää suoraan tai epäsuorasti vähintään yhden muuttujan ja muuttuu lauseeksi, kun kaikki muuttujat korvataan niiden arvoilla.

.

Matemaattisessa logiikassa väitteen tiettyä sisältöä ei oteta huomioon, vaan sillä on merkitystä, onko se totta vai tarua. Siksi lausetta voidaan esittää jollakin muuttujalla, jonka arvo voi olla vain 0 tai 1. Jos väite on tosi, sen arvo on 1, jos epätosi - 0.

Yksinkertaisia ​​lausuntoja kutsutaan loogisia muuttujia ja tallennuksen helpottamiseksi ne on merkitty latinalaisin kirjaimin: A, B, C... Kuu on Maan satelliitti. A = 1 Moskova on Saksan pääkaupunki. B = 0

Monimutkaisia ​​lauseita kutsutaan loogisia toimintoja. Loogisen funktion arvot voivat myös olla vain arvoja 0 tai 1.

LOGISET PERUSTOIMINNOT

Propositioalgebrassa, kuten tavallisessa algebrassa, otetaan käyttöön useita operaatioita. Loogiset konnektiivit AND, OR ja NOT korvataan loogisilla operaatioilla: konjunktio, disjunktio ja inversio. Nämä ovat loogisia perusoperaatioita, joilla voit kirjoittaa mitä tahansa loogista funktiota.

1. Looginen operaatio KÄÄNTÄ (NEGAATIO)

vastaa hiukkasta EI

on merkitty viivalla muuttujan nimen yläpuolella tai ¬-merkillä muuttujan edessä

Boolen muuttujan käänteisarvo on tosi, jos itse muuttuja on epätosi, ja päinvastoin, käänteisarvo on epätosi, jos muuttuja on tosi.

Inversion totuustaulukko näyttää tältä:

2. Looginen operaatio DISJUNCTION (LOOGINEN LISÄYS)

vastaa konjunktiota OR

merkitty v:llä tai + tai ║

3. Looginen operaatio CONJUNCTION (LOOGINEN KERTOAMINEN)

vastaa konjunktiota AND

merkitty & tai Λ, tai ·

Kahden loogisen muuttujan konjunktio on tosi, jos ja vain jos molemmat lauseet ovat tosi. Tämä määritelmä voidaan yleistää mihin tahansa määrään konjunktiolla yhdistettyjä Boolen muuttujia. A & B & C = 1 vain, jos A = 1, B = 1, C = 1. Konjunktion totuustaulukolla on seuraava muoto:

LOOGISET SALAUKSET JA TOTUUSTAULUKOT

Monimutkaiset lauseet voidaan kirjoittaa kaavojen muodossa. Tätä varten yksinkertaiset loogiset lauseet on merkittävä kirjaimin loogisiksi muuttujiksi ja yhdistettävä loogisten operaatioiden merkkejä käyttäen. Tällaisia ​​kaavoja kutsutaan loogisia lausekkeita. Esimerkiksi:

Totuustaulukot

Voit rakentaa jokaiselle yhdistelmälausekkeelle (loogiselle lausekkeelle). totuustaulukko, joka määrittää loogisen lausekkeen totuuden tai virheellisyyden kaikille mahdollisille yksinkertaisten lauseiden (loogisten muuttujien) alkuarvojen yhdistelmille.

Totuustaulukoita rakennettaessa on suositeltavaa noudattaa tiettyä toimintosarjaa:

1) kirjoita lauseke muistiin ja määritä toimintojen järjestys

2) määrittää totuustaulukon rivien lukumäärä. Se on yhtä suuri kuin loogiseen lausekkeeseen sisältyvien loogisten muuttujien arvojen mahdollisten yhdistelmien lukumäärä (määritetty kaavalla Q = 2n, jossa n on syötemuuttujien lukumäärä)

3) määrittää sarakkeiden lukumäärä totuustaulukossa (= loogisten muuttujien lukumäärä + loogisten operaatioiden määrä)

4) rakentaa totuustaulukko, nimetä sarakkeet (muuttujien nimet ja loogisten operaatioiden nimet niiden suoritusjärjestyksessä) ja syötä taulukkoon alkuperäisten loogisten muuttujien mahdolliset arvojoukot.

5) täyttää totuustaulukko suorittamalla loogisia perusoperaatioita vaaditussa järjestyksessä ja niiden totuustaulukkojen mukaisesti

Voimme nyt määrittää Boolen funktion arvon mille tahansa Boolen muuttujan arvojoukolle.

Rakennetaan esimerkiksi totuustaulukko loogiselle funktiolle:

KIRJOITTAA LOOGINEN ILMAISEMINEN TOTUUSTAULUKON MUKAISESTI

Säännöt loogisen lausekkeen muodostamiseksi:

2. Yhdistä kaikki mintermit käyttämällä disjunktiooperaatiota (loogista yhteenlaskua), joka antaa tietyn totuustaulukon tulojen vakiosumman.

Logiikkafunktiot

Mitä tahansa loogista lauseketta (yhdistelmälauseketta) voidaan pitää loogisena funktiona F(X1,X2, ..., Xn) joiden argumentit ovat loogisia muuttujia X1, X2, ..., Xn(yksinkertaiset lausunnot). Itse funktiolla, kuten argumenteilla, voi olla vain kaksi eri arvoa: "true" (1) ja "false" (0).

Kahden argumentin toimintoja käsiteltiin edellä: looginen kertolasku IHANA)= A&B, looginen lisäys IHANA)= AVB, ja myös looginen negaatio F(A) = ¬A, jossa toisen argumentin arvon voidaan katsoa olevan nolla.

Jokaisella kahden argumentin Boolen funktiolla on neljä mahdollista argumenttiarvojoukkoa. Saattaa olla olemassa N= 24 = 16 erilaista loogista funktiota kahdelle argumentille.

Näin ollen kahdella argumentilla on 16 erilaista loogista funktiota, joista jokainen on annettu omalla totuustaulukollaan:

VAIKUTUKSET (LOOGINEN SEURANTA).

Kahden lauseen A ja B implikaatio vastaa konjunktiota "JOS...SIIN". Se osoitetaan symbolilla →

Kirjoitus A → B luetaan seuraavasti: "A:sta seuraa B".

Kahden väitteen implikaatio on aina tosi, paitsi jos ensimmäinen väite on tosi ja toinen epätosi.

Kahden lauseen A ja B implikaatioiden totuustaulukko on seuraava:

Ekvivalenssi (LOOGINEN TASA-ARVO, Identiteettifunktio)

Se on merkitty symboleilla ≡ tai. ("silloin ja vain silloin").

Merkintä A ≡ B tarkoittaa "A vastaa B:tä".

Kahden väitteen ekvivalenssi on tosi vain niissä tapauksissa, joissa molemmat väitteet ovat vääriä tai molemmat ovat tosia.

Totuustaulukko kahden lauseen A ja B vastaavuudelle on seuraava:

Loogiset lait ja säännöt loogisten lausekkeiden muuntamiseen

Propositiologiikan kaavojen ekvivalentteja kutsutaan usein logiikan lakeja. Logiikan lait heijastavat loogisen ajattelun tärkeimpiä malleja.

1. Identiteettilaki. itselleni:

1. Identiteettilaki. Jokainen lausunto on identtinen itsensä kanssa:

Tämän lain muotoili antiikin kreikkalainen filosofi Aristoteles. Identiteettilaki toteaa, että tietyn lausunnon sisältämä ajatus pysyy muuttumattomana koko väitteen ajan, jossa tämä väite esiintyy.

2. Ristiriitaisuuden laki. Väite ei voi olla sekä totta että epätosi. Jos lausunto A - on totta, sitten sen kieltäminen ei A täytyy olla väärä. Siksi lausunnon ja sen negatiivisen loogisen tuotteen on oltava epätosi:

Ristiriitattomuuden laki sanoo, että mikään lause ei voi olla totta samaan aikaan kuin sen kieltäminen. "Tämä omena on kypsä" ja "Tämä omena ei ole kypsä"

3. Poissuljetun keskikohdan laki. Väite voi olla joko tosi tai epätosi, kolmatta vaihtoehtoa ei ole. Tämä tarkoittaa, että lauseen loogisen lisäyksen ja sen kieltämisen tulos saa aina totuuden arvon:

KONSEPTI- ajattelun muoto, joka heijastaa yksittäisen kohteen tai homogeenisten esineiden luokan olennaisia piirteitä. Esimerkkejä: salkku, trapetsi, hurrikaanituuli.

Kaikki metallit ovat yksinkertaisia aineita. Litium on metalli.→ Litium on yksinkertainen aine.

“x-4x + 3=0"- ne eivät kerro kenestä henkilöstä puhumme tai mille numerolle X tasa-arvo on totta. Tällaisia ehdotuksia kutsutaan ilmeikkäät muodot.

Yksinkertaisia lausuntoja kutsutaan loogisia muuttujia ja tallennuksen helpottamiseksi ne on merkitty latinalaisin kirjaimin: A, B, C... Kuu on Maan satelliitti. A = 1 Moskova on Saksan pääkaupunki. B = 0

Monimutkaisia lauseita kutsutaan loogisia toimintoja. Loogisen funktion arvot voivat myös olla vain arvoja 0 tai 1.

Monimutkaiset lauseet voidaan kirjoittaa kaavojen muodossa. Tätä varten yksinkertaiset loogiset lauseet on merkittävä kirjaimin loogisiksi muuttujiksi ja yhdistettävä loogisten operaatioiden merkkejä käyttäen. Tällaisia kaavoja kutsutaan loogisia lausekkeita. Esimerkiksi: