con un estudio en profundidad de la lengua francesa "

Los fundamentos lógicos de una computadora.

libro de texto de informática

para el grado 10

Contenido

§una. Fundamentos de lógica………………………………..…….…………3

§ 2. Operaciones lógicas………………………………..…..….…..5

§ 3. Fórmulas lógicas. Tabla de verdad de una fórmula lógica………………………………………………..…..…...….….8

§ 4. Leyes básicas del álgebra de la lógica. Simplificación de fórmulas lógicas…………………….....………………....………11

§ 5. Resolución de problemas lógicos…………………………………….13

§ 6. Función lógica…………………………...…………..….18

§ 7. Fundamentos lógicos de las computadoras. Elementos lógicos básicos………………………………..……………………………….21

§ 8. Elementos lógicos de la computadora. Gatillo y sumador ............................................................. .......................................................... ........25

Preguntas para el autocontrol…………..……...……………….29

§ 1. Fundamentos de la lógica.

En el proceso de procesamiento de información binaria, la computadora realiza operaciones aritméticas y lógicas. Por lo tanto, para tener una idea sobre la estructura de una computadora, es necesario familiarizarse con los elementos lógicos básicos que subyacen en la construcción de una computadora. Comencemos este conocimiento con los conceptos iniciales básicos de lógica.

El término "lógica" en sí mismo proviene del griego antiguo logos, que significa "palabra, pensamiento, concepto, razonamiento, ley".

Lógicas- la ciencia de las leyes y formas del pensamiento.

Las primeras enseñanzas sobre las formas y métodos de razonamiento surgieron en los países del Antiguo Oriente (China, India), pero las enseñanzas creadas por los antiguos pensadores griegos son la base de la lógica moderna. Aristóteles fue el primero en separar las formas lógicas del discurso de su contenido, explorar la terminología de la lógica, analizar en detalle la teoría de la inferencia y la prueba, describir una serie de operaciones lógicas y formular las leyes básicas del pensamiento.

Los conceptos principales de la lógica incluyen los siguientes.

declaración lógica- esta es cualquier oración declarativa, en relación con la cual es posible decir inequívocamente si es verdadera o falsa.

Así, por ejemplo, la oración " 6 - número par" debe considerarse una declaración, ya que es verdadera. La oración " Roma es la capital de Francia"también es una declaración, ya que es falsa.

Declaración es una afirmación que necesita ser probada o refutada.

Por ejemplo, cualquier teorema es un enunciado que requiere prueba.

razonamiento es una secuencia de sentencias o sentencias que se relacionan entre sí de cierta manera.

Por ejemplo, el curso de probar un teorema puede llamarse razonamiento.

inferencia es una forma de pensar por medio de la cual se deriva un nuevo juicio a partir de una o más proposiciones. Las inferencias son deductivas, inductivas y por analogía.

en el razonamiento deductivo el razonamiento procede de lo general a lo particular. Por ejemplo, a partir de dos juicios: "Todos los metales son eléctricamente conductores" y "El mercurio es un metal", podemos concluir que "El mercurio es eléctricamente conductor".

En el razonamiento inductivo el razonamiento procede de lo particular a lo general. Por ejemplo, habiendo establecido que los metales individuales (hierro, cobre, zinc, aluminio, etc.) tienen la propiedad de conductividad eléctrica, concluimos que todos los metales son eléctricamente conductores.

Inferencia por analogía transfiere conocimiento sobre un objeto a otro. Por ejemplo, la composición química del Sol y la Tierra son similares en muchos aspectos. Por lo tanto, cuando se descubrió en el sol el elemento químico helio, que aún era desconocido en la Tierra, se concluyó por analogía que tal elemento también existe en la Tierra.

Por supuesto no todas las oraciones son declaraciones lógicas. Las declaraciones no son, por ejemplo, oraciones " estudiante de décimo grado" y " la informatica es un tema interesante". La primera frase no dice nada sobre el estudiante, y la segunda utiliza un concepto demasiado vago" Materia interesante". Las oraciones interrogativas y exclamativas tampoco son enunciados, ya que no tiene sentido hablar de su verdad o falsedad.

Ofertas como " en el puebloA más de un millón de habitantes", "él tiene los ojos azules"no son declaraciones, ya que se necesita información adicional para aclarar su verdad o falsedad: qué ciudad o persona en particular se está discutiendo. Tales oraciones se llaman expresiones lógicas.

expresión booleana es una oración declarativa que directa o indirectamente contiene al menos una variable y se convierte en una declaración cuando todas las variables son reemplazadas por sus valores.

El área del conocimiento que estudia la verdad o falsedad de las proposiciones se denomina lógica matemática.

Así como se desarrolló una rama de las matemáticas, el álgebra, para describir acciones sobre variables, se creó un álgebra proposicional o álgebra de la lógica para procesar expresiones lógicas en la lógica matemática.

Álgebra de la lógica- Esta es una rama de la lógica matemática que estudia los enunciados considerados desde el lado de sus valores lógicos (verdadero o falso) y las operaciones lógicas sobre ellos.

El álgebra de la lógica surge a mediados del siglo XIX en las obras del matemático inglés Jorge Boole. Su creación fue un intento de resolver problemas lógicos tradicionales usando métodos algebraicos.

El álgebra de la lógica considera cualquier declaración desde un solo punto de vista, ya sea verdadera o falsa. Darse cuenta de a menudo es difícil establecer la verdad de la declaración. Así, por ejemplo, la afirmación " superficie india océano es de 75 millones de metros cuadrados. kilómetros" en una situación puede considerarse falso, y en otra, verdadero. Falso, ya que el valor indicado es inexacto y no constante en absoluto. Verdadero, si lo consideramos como una aproximación que es aceptable en la práctica.

§ 2. Operaciones lógicas.

Palabras y frases de uso común "no", "y", "o", "si... entonces", "entonces y sólo entonces" y otros nos permiten construir nuevas sentencias a partir de sentencias ya dadas. Tales palabras y frases se llaman conexiones lógicas.

Los enunciados formados a partir de otros enunciados con la ayuda de conectores lógicos se denominan compuesto. Las proposiciones que no son compuestas se llaman elemental.

Entonces, por ejemplo, de declaraciones elementales " Petrov - médico", "Petrov - jugador de ajedrez"con la ayuda de un enlace" y"puede obtener una declaración compuesta" Petrov - médico y jugador de ajedrez", entendido como " Petrov es un médico que juega bien al ajedrez.".

Con el enlace " o"de las mismas sentencias se puede obtener una sentencia compuesta" Petrov - médico o jugador de ajedrez", entendido en álgebra lógica como " Petrov o un médico, o un jugador de ajedrez, o un médico y un jugador de ajedrez al mismo tiempo".

La verdad o falsedad de las proposiciones compuestas así obtenidas depende de la verdad o falsedad de las proposiciones elementales.

Para referirse a las proposiciones lógicas, se les asignan nombres. Dejar pasar A la declaración está marcada "Timur irá al mar en verano", y mediante V- declaración "Timur irá a las montañas en el verano". Entonces el enunciado compuesto "Timur visitará tanto el mar como la montaña en verano" puede escribirse brevemente como A y B. Aquí "y"- conexión lógica un, b- variables lógicas que pueden tomar solo dos valores: "verdadero" o "falso", indicados, respectivamente, "1" y "0".

La operación expresada por el conectivo "y" se llama conjunción(lat. conjunctio - conexión) o multiplicación lógica y se denota con un punto " . " (también se puede denotar con  o &).

declaración A . V verdadero si y solo si ambas declaraciones A y V verdadero.

Por ejemplo, la declaración "10 es divisible por 2 y 5 es mayor que 3" verdadero y declaraciones "10 es divisible por 2 y 5 no es mayor que 3", "10 no es divisible por 2 y 5 es mayor que 3", "10 no es divisible por 2 y 5 no es mayor que 3"- son falsos.

La operación expresada por el conectivo "o" (en el sentido no excluyente de la palabra) se llama disyunción(lat. disjunctio - separación) o adición lógica y se denota por v (o más).

declaración A v B es falsa si y solo si ambas afirmaciones A y V falso.

Por ejemplo, la declaración "10 no es divisible por 2 o 5 no es más que 3" falsas y afirmaciones "10 es divisible por 2 o 5 es mayor que 3", "10 es divisible por 2 o 5 no es mayor que 3", "10 no es divisible por 2 o 5 es mayor que 3"- cierto.

La operación expresada por la palabra "no" se llama lógiconegación o inversión y se indica con una barra encima del enunciado (o con el signo ).

declaración  A cierto cuando A falso y falso cuando A verdadero.

Por ejemplo, " La Luna es el satélite de la Tierra."(Una verdad; " la luna no es un satelite de la tierra" ( A) Es falso.

La operación expresada por los conectivos "si..., entonces", "de... sigue", "... implica...", se denomina implicación(lat. implico - estrechamente relacionado) y se indica con el signo .

declaración A V falso si y solo si A cierto, y V falso.

¿Cómo conecta la implicación dos proposiciones elementales?

Mostremos esto con un ejemplo: "este cuadrilátero es un cuadrado" (A) y "un círculo se puede circunscribir alrededor de un cuadrilátero dado"(V). Considere una declaración compuesta A V, entendido como "Si el cuadrilátero dado es un cuadrado, entonces se puede circunscribir un círculo a su alrededor".

Hay tres opciones cuando la declaración A V cierto:

A cierto y V cierto, es decir, el cuadrilátero dado es un cuadrado, y alrededor de él se puede circunscribir un círculo;

A falso y V cierto, es decir, el cuadrilátero dado no es un cuadrado, pero se puede circunscribir un círculo alrededor de él (por supuesto, esto no es cierto para ningún cuadrilátero);

A falso y B es falso, es decir, el cuadrilátero dado no es un cuadrado, y no se puede circunscribir un círculo alrededor de él.

Solo una opción es falsa cuando A es verdadera y B es falsa, es decir, el cuadrilátero dado es un cuadrado, pero no se puede circunscribir un círculo alrededor de él.

En el habla ordinaria, el vínculo "si... entonces" describe una relación causal entre declaraciones. Pero en las operaciones lógicas, el significado de las declaraciones no se tiene en cuenta. Solo se considera su verdad o falsedad. Por lo tanto, uno no debe sentirse avergonzado por la "falta de sentido" de las implicaciones formadas por declaraciones que no tienen ninguna relación en contenido. Por ejemplo, así: "Si el presidente de los Estados Unidos es demócrata, entonces hay jirafas en África", "Si una sandía es una baya, entonces hay gasolina en la gasolinera".

La operación expresada por los conectivos "si y sólo entonces", "necesario y suficiente", "...equivalente a...", se denomina equivalente o doble implicación y se denota por  o ~.

declaración A V verdadero si y solo si los valores A y V emparejar.

Por ejemplo, declaraciones "24 es divisible por 6 si y solo si 24 es divisible por 3", "23 es divisible por 6 si y solo si 23 es divisible por 3" verdadero y declaraciones "24 es divisible por 6 si y solo si 24 es divisible por 5", "21 es divisible por 6 si y solo si 21 es divisible por 3" falso.

refranes A y v, formando una declaración compuesta A V, puede no estar relacionado en contenido, por ejemplo: "tres es más que dos" (A), "los pingüinos viven en la Antártida" (V). Los negativos de estas declaraciones son las declaraciones "tres no es más que dos"( A), "los pingüinos no viven en la Antártida"(B). formado a partir de dichos A y V declaraciones compuestas A B y  A  B verdadero y declaraciones A  B y  A B- son falsos.

§ 3. Fórmulas lógicas. tabla de verdad booleana

fórmulas

Con la ayuda de variables lógicas y símbolos de operaciones lógicas, cualquier declaración puede ser formalizar es decir reemplazar con una fórmula lógica.

Definición fórmula lógica:

Cualquier variable lógica y los símbolos "verdadero" ("1") y "falso" ("0") son fórmulas.

Si A y B son fórmulas, entonces  A, A. B, A v B, A  B, A  B son fórmulas.

3. No hay otras fórmulas en el álgebra de la lógica.

La cláusula 1 define fórmulas elementales; en el párrafo 2 se dan reglas para la formación de nuevas fórmulas a partir de fórmulas dadas.

Como ejemplo, considere la declaración "Si compro manzanas o albaricoques, haré un pastel de frutas". Esta declaración se formaliza como (A contra B) C. La misma fórmula corresponde al enunciado "Si Igor sabe inglés o japonés, conseguirá un trabajo como intérprete".

Como muestra el análisis de la fórmula (A contra B) C, para ciertas combinaciones de valores de variables un, b y C toma el valor "verdadero" y, con algunas otras combinaciones, el valor "falso". Tales fórmulas se llaman realizable.

Algunas fórmulas toman el valor "verdadero" para cualquier valor de verdad de las variables incluidas en ellas. Por ejemplo, la fórmula una v A correspondiente a la declaración "¿Este triángulo es correcto o no es correcto?" es cierto tanto cuando el triángulo es rectángulo como cuando el triángulo no es rectángulo. Tales fórmulas se llaman fórmulas idénticamente verdaderas o tautologías. Los enunciados que se formalizan mediante tautologías se denominan enunciados lógicamente verdaderos.

Como otro ejemplo, considere la fórmula A .  A, que corresponde, por ejemplo, a la declaración "Katya es la chica más alta de la clase, y hay chicas más altas que Katya en la clase". Obviamente, esta fórmula es falsa, ya que o bien A, o  A necesariamente falso. Tales fórmulas se llaman fórmulas idénticamente falsas o contradicciones. Los enunciados que se formalizan mediante contradicciones se denominan afirmaciones lógicamente falsas.

Si dos fórmulas A y B simultáneamente, es decir, con los mismos conjuntos de valores de las variables incluidas en ellas, toman los mismos valores, entonces se les llama equivalente.

La equivalencia de dos fórmulas del álgebra lógica se denota con el símbolo "=" Reemplazar la fórmula con otra equivalente a ella se llama transformación equivalente esta fórmula

Hemos considerado cinco operaciones lógicas : negación, conjunción, disyunción, implicación y equivalencia.

implicación se puede expresar a través de disyunción y negación:

A  B =  Av B.

Equivalencia se puede expresar a través de negación , disyunción y conjunción :

A  segundo = ( UN v segundo) . ( Bv A).

De este modo, operacionesnegaciones, disyunciones y conjunciones suficiente para describir y procesar enunciados lógicos.

El orden de ejecución de las operaciones lógicas se da entre paréntesis. Pero para reducir el número de paréntesis, acordamos considerar que primero se realiza la operación de negación ("no"), luego la conjunción ("y"), después de la conjunción, la disyunción ("o"), y por último, la implicación.

Tabla de verdad de formulas logicas– una tabla que expresa la correspondencia entre todos los conjuntos posibles de valores de variables y valores de fórmulas.

Para una fórmula que contiene dos variables, solo hay cuatro conjuntos de valores de variables: (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1).

Si la fórmula contiene tres variables, entonces hay ocho conjuntos de este tipo: (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0 , 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1).

El número de conjuntos para una fórmula con cuatro variables es dieciséis, y así sucesivamente. es decir, si norte es el número de variables, entonces 2 norte es el número de conjuntos de valores de variables.

Tabla de verdad de fórmulas lógicas elementales

Conjunción

Disyunción

inversión

implicación

Equivalencia

X

en

x y

X

en

X  en

X

 X

X

en

X  en

X

en

X  en

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

0

1

0

1

1

0

0

1

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

Una forma conveniente de notación al encontrar los valores de una fórmula que contiene varias operaciones lógicas es una tabla en la que, además de los valores de las variables y los valores de la fórmula, también se indican los valores. .

fórmulas intermedias.

Ejemplos.

1. Compile una tabla de verdad para la fórmula  x y  (X y) X, que contiene dos variables x e y. En las dos primeras columnas de la tabla, escribimos cuatro posibles pares de valores de estas variables, en las columnas siguientes, los valores de las fórmulas intermedias, y en la última columna, el valor de la fórmula.

Variables

Fórmula

X

en

 X

 x y

X  en

 (X  y)

 x y   (x  y)

 x y   (x  y)  x

Se puede ver en la tabla que para todos los conjuntos de valores de las variables x e y, la fórmula toma el valor 1, es decir, es idénticamente cierto .

2. Tabla de verdad para la fórmula:  (x  y) (x  y)

Variables

fórmulas lógicas intermedias

Fórmula

X

en

X  en

 (X  y)

 en

X ·  en

 (X  y) (x  y)

Se puede ver en la tabla que para todos los conjuntos de valores de las variables x e y, la fórmula toma el valor 0, es decir, es idénticamente falso .

3. Tabla de verdad de la fórmula: (X  y)  X ·z

Variables

fórmulas lógicas intermedias

Fórmula

X

y

z

 en

X   en

 (X   y)

 X

 X · z

 (X   y)   x z

La tabla muestra que la fórmula en algunos casos toma el valor 1, y en algunos - 0, es decir, es factible.

§ 4. Leyes básicas del álgebra de la lógica. Simplificación

fórmulas lógicas.

Las transformaciones equivalentes de fórmulas lógicas tienen el mismo propósito que las transformaciones de fórmulas en álgebra ordinaria. Sirven para simplificar fórmulas o llevarlas a cierta forma usando las leyes básicas del álgebra de la lógica.

Bajo simplificación de fórmulas, que no contiene las operaciones de implicación y equivalencia, se entiende como una transformación equivalente que conduce a una fórmula que contiene, en comparación con la original, un número menor de operaciones de conjunción y disyunción y no contiene negaciones de fórmulas no elementales, o contiene un número menor de ocurrencias de variables.

En el álgebra de la lógica, se cumplen las siguientes leyes básicas, lo que le permite producir transformaciones idénticas de expresiones lógicas.

Ley

Representación

en álgebra lógica

Reubicable (conmutativo)

a  segundo = segundo  un, un  segundo = segundo  a

Asociativo (asociativo)

a  (b  c) = (a  b)  s,

a  (b  c) = (a  b)  c

Distribución (distribución)

a  (b  c) = (a  b)  (a  c) ,

a  (b  c) = (a  b)  (a  c)

Las reglas de De Morgan

 (a  b) =  a  b ,

 (a  b) =  a  b

Ley de la doble negación (involución)

  un = un

Operaciones con una variable y su inversa

a   a = 0 , a  un=1

Operaciones con constantes

a  1 = 1 , un  1 = un

a  0 = un , un  0 = 0

Leyes de la idempotencia

un  un = un , un  un = un

Leyes de absorción

X  (X  y) = x, x  (X  y) = x

Las leyes del pegado

(X  y)  ( X  y) = y,

(X  y)  ( X  y) = y

Algunas transformaciones de fórmulas lógicas son similares a las transformaciones de fórmulas en álgebra ordinaria(poniendo entre paréntesis el factor común, usando leyes conmutativas y asociativas, etc.), mientras que otras transformaciones se basan en propiedades que las operaciones de álgebra ordinarias no tienen(uso de la ley distributiva para la conjunción, las leyes de absorción, pegado, de Morgan, etc.).

Veamos algunos ejemplos técnicas y métodos utilizados en la simplificación de fórmulas lógicas.

Ejemplo 1

 (X  y) (x  y) =  X · y (x y) = x x x y · y = 0 y · y = 0 y=0
(Las leyes del álgebra de la lógica se aplican en la siguiente secuencia: la regla de Morgan, la ley de asociación, la regla de operaciones de una variable con su inversión y la regla de operaciones con constantes).

Ejemplo 2

 x y  (X  y)  X =  x y  X · en x = x (y y) x = X x =1
(Se aplica la regla de De Morgan, se saca el factor común entre paréntesis, se usa la regla de operaciones de una variable con su inversión).

Ejemplo 3

(X  y) · (  X  y) · (  X   y) = (x y) · ( X y) · ( X y) · ( X  y) =y ·  X
(Se repite el segundo factor, lo que permite la ley de idempotente; luego se combinan los dos primeros y los dos últimos factores y se usa la ley de pegado).

Ejemplo 4

 (x y   z ) =  (x y)  z =  (x y) z
(Primero, queremos que el signo de negación esté solo frente a variables individuales, y no frente a sus combinaciones, para esto aplicamos la regla de Morgan; luego usamos la ley de la doble negación);

Ejemplo 5

x y x · y ·z  x rz\u003d x (y  y z  z p) \u003d x (y (1  z)  z p) \u003d

= x (y z · R)

(Se sacan los factores comunes entre paréntesis; se aplica la regla de operaciones con constantes);

Ejemplo 6.

X  y  x y z  X  yz  X  (yz)= x (  y  yz   yz   (yz)) =

= X · (( y  y · z )  (y · z   (y · z )) = X · ( y  y · z  1) = X 1 =X
(Se saca el factor común x entre paréntesis, se combinan los términos entre paréntesis - el primero con el tercero y el segundo con el cuarto, se aplica a la disyunción la regla de la operación variable con su inversión);

Se puede ver en estos ejemplos que al simplificar fórmulas lógicas, no siempre es obvio cuál de las leyes del álgebra de la lógica debe aplicarse en uno u otro paso. Las habilidades vienen con la experiencia.

§ 5. Solución de problemas lógicos.

La variedad de problemas lógicos es muy grande. También hay muchas formas de resolverlos. Pero los siguientes tres métodos para resolver problemas lógicos son los más utilizados:

medios de álgebra de la lógica;

tabular;

a través del razonamiento.

Vamos a conocerlos uno por uno.

I. Resolución de problemas lógicos mediante el álgebra de la lógica

Generalmente se utiliza lo siguiente esquema de solución:

se estudia el estado del problema;

se introduce un sistema de notación para enunciados lógicos;

se construye una fórmula lógica que describe las conexiones lógicas entre todas las declaraciones de la condición del problema;

se determinan los valores de verdad de esta fórmula lógica;

a partir de los valores recibidos de la verdad de la fórmula, se determinan los valores de verdad de las declaraciones lógicas introducidas, sobre la base de los cuales se llega a una conclusión sobre la solución.

Ejemplo 1 Tres amigos, fanáticos de las carreras de Fórmula 1, discutían sobre los resultados de la próxima etapa de la carrera.

- Verás, Schumacher no será lo primero", dijo John. Hill será el primero.

- No, el ganador será, como siempre, Schumacher, - exclamó Nick. - Y de Alesi no hay nada que decir, no será el primero.

Peter, a quien Nick se dirigió, se indignó:

- Hill nunca verá el primer lugar, pero Alesi pilota el auto más poderoso.

Al final de la etapa de carrera, resultó que cada una de las dos suposiciones de los dos amigos se confirmó, y ambas suposiciones del tercero de los amigos resultaron ser incorrectas. ¿Quién ganó la etapa de la carrera?

Solución.

Introduzcamos la notación para enunciados lógicos:

W- gana Schumacher; X- Hill ganará; A Alesi gana.

La respuesta de Nick "Alesi conduce el auto más poderoso" no contiene ninguna declaración sobre el lugar que ocupará este conductor, por lo tanto, no se tiene en cuenta en el razonamiento posterior.

Anotemos las declaraciones de cada uno de los amigos:

John:  ancho X, Nick: W · A, Pedro:  X

Teniendo en cuenta que las suposiciones de dos amigos se confirmaron y las suposiciones del tercero son incorrectas, escribimos y simplificamos la declaración verdadera

( W X) (W  A)  X  ( W X)  (W  A)  X   ( W X) (W  A)  X \u003d \u003d ( WXW  AX) ( WX  (W  A)  X) (W  X) W  A  X = = 0  0  W  A  X = W  A  X

declaración W · A · X cierto solo cuando W=1, A=0, X=0.

Respuesta. Schumacher se convirtió en el ganador de la etapa de la carrera.

II. Resolución de problemas lógicos mediante tablas de verdad.

Al usar este método, las condiciones que contiene el problema y los resultados del razonamiento se registran utilizando tablas compiladas especialmente.

Ejemplo 2 La orquesta sinfónica contrató a tres músicos: Brown, Smith y Wisson, que saben tocar el violín, la flauta, la viola, el clarinete, el oboe y la trompeta.

Se sabe que:

Smith es el más alto;

el violinista es más pequeño que el flautista;

los violinistas y flautistas y Brown aman la pizza;

cuando surge una disputa entre el violista y el trompetista, Smith los reconcilia;

Brown no sabe tocar ni la trompeta ni el oboe.

¿Qué instrumentos toca cada uno de los músicos si cada uno de ellos tiene dos instrumentos?

Solución.

Hagamos una tabla y reflejemos en ella las condiciones del problema, llenando las celdas correspondientes con los números 0 y 1, dependiendo de si la afirmación correspondiente es falsa o verdadera.

Como hay tres músicos, seis instrumentos, y cada uno solo tiene dos instrumentos, resulta que cada músico toca instrumentos que los demás no tienen.

De la condición 4 se sigue que Smith no toca la viola ni la trompeta, y de las condiciones 3 y 5 que Brown no puede tocar el violín, la flauta, la trompeta ni el oboe. Por lo tanto, los instrumentos de Brown son la viola y el clarinete. Pongámoslo en la tabla y completemos las celdas restantes de las columnas "viola" y "clarinete" con ceros:

violín

flauta

Alto

clarinete

oboe

tubo

marrón

Herrero

lino fino

La tabla muestra que solo Visson puede tocar la trompeta.

Las condiciones 1 y 2 implican que Smith no es violinista. Como ni Brown ni Smith tocan el violín, Wisson es el violinista. Ambos instrumentos tocados por Visson ahora están definidos, por lo que el resto de las celdas en la cadena "Visson" se pueden llenar con ceros:

violín

flauta

Alto

clarinete

oboe

tubo

marrón

Herrero

lino fino

La tabla muestra que solo Smith puede tocar la flauta y el oboe.

violín

flauta

Alto

clarinete

oboe

tubo

marrón

Herrero

lino fino

Respuesta: Brown toca la viola y el clarinete, Smith toca la flauta y el oboe y Visson toca el violín y la trompeta.

Ejemplo 3 Tres compañeros de clase, Vlad, Timur y Yura, se conocieron 10 años después de graduarse. Resultó que uno de ellos se hizo médico, otro físico y el tercero abogado. Uno se enamoró del turismo, otro correr, la pasión del tercero: el rugby.

Yura dijo que no tiene suficiente tiempo para el turismo, aunque su hermana es la única doctora en la familia, una turista ávida.

El médico dijo que compartía la pasión de su colega.

Es curioso, pero dos de los amigos no tienen ni una sola letra de su nombre en los nombres de sus profesiones y aficiones.

Determine a quién le gusta hacer qué en su tiempo libre y quién tiene qué profesión.

Solución.

Aquí, los datos iniciales se dividen en tripletes (nombre - profesión - afición).

Está claro por las palabras de Yura que no le gusta el turismo y que no es médico. De las palabras del médico se deduce que es un turista.

Nombre

Yura

Profesión

médico

Entusiasmo

turismo

La letra "a", presente en la palabra "doctor", indica que Vlad tampoco es médico, por lo tanto, el médico es Timur. Hay letras "t" y "r" en su nombre, que se encuentran en la palabra "turismo", por lo tanto, el segundo de sus amigos, en los nombres de la profesión y aficiones de las que no se encuentra ni una sola letra de su nombre. -Yura. Yura no es abogado ni jugador de rugby, ya que su nombre contiene las letras "u" y "r". Por lo tanto, finalmente tenemos:

Nombre

Yura

Timur

Vlad

Profesión

físico

médico

abogado

Entusiasmo

correr

turismo

rugby

Respuesta. Vlad es abogado y jugador de rugby, Timur es médico y turista, Yura es física y corredora.

tercero Resolver problemas lógicos usando el razonamiento.

De esta forma se suelen resolver problemas lógicos sencillos.

Ejemplo 4 Vadim, Sergey y Mikhail estudian varios idiomas extranjeros: chino, japonés y árabe. Cuando se les preguntó qué idioma estudiaba cada uno de ellos, uno respondió: "Vadim está estudiando chino, Sergey no está estudiando chino y Mikhail no está estudiando árabe". Posteriormente, resultó que en esta respuesta solo una declaración es verdadera y las otras dos son falsas. ¿Qué idioma está aprendiendo cada uno de los jóvenes?

Solución. Hay tres declaraciones:

Vadim estudia chino;

Sergei no estudia chino;

Mikhail no estudia árabe.

Si la primera afirmación es verdadera, entonces la segunda también lo es, ya que los jóvenes aprenden diferentes idiomas. Esto contradice la condición del problema, por lo que la primera afirmación es falsa.

Si la segunda afirmación es verdadera, entonces la primera y la tercera deben ser falsas. Resulta que nadie estudia chino. Esto contradice la condición, por lo que la segunda declaración también es falsa.

Respuesta: Sergei está estudiando chino, Mikhail está estudiando japonés y Vadim está estudiando árabe.

Ejemplo 5 Los cancilleres de Rusia, Estados Unidos y China discutieron a puerta cerrada los proyectos de acuerdos de desarme completo presentados por cada uno de los países. Luego, respondiendo a la pregunta de los periodistas: "¿De quién fue el proyecto adoptado?", los ministros dieron las siguientes respuestas:

Rusia - "El proyecto no es nuestro, el proyecto no es USA";
EE.UU. - "El proyecto no es Rusia, el proyecto es China";
China - "El proyecto no es nuestro, el proyecto de Rusia".

Uno de ellos (el más franco) dijo la verdad en ambas ocasiones; el segundo (el más reservado) dijo una mentira en ambas ocasiones, el tercero (cauteloso) una vez dijo la verdad y la otra vez, una mentira.

Determine qué países están representados por los ministros francos, reservados y cautelosos.

Solución. Para facilitar la notación, numeremos las declaraciones de los diplomáticos:

Rusia - "El proyecto no es nuestro" (1), "El proyecto no es USA" (2);
EE. UU. - "Proyecto no Rusia" (3), "Proyecto China" (4);
China - "El proyecto no es nuestro" (5), "Proyecto de Rusia" (6).

Averigüemos cuál de los ministros es el más franco.

Si se trata de un ministro ruso, de la validez de (1) y (2) se deduce que ganó el proyecto chino. Pero entonces también son ciertas ambas afirmaciones del ministro norteamericano, lo que no puede ser por condición.

Si el más franco es el ministro de EE. UU., nuevamente obtenemos que el proyecto chino ha ganado, lo que significa que ambas declaraciones del ministro ruso también son ciertas, lo que no puede ser por condición.

Resulta que el ministro chino fue el más franco. De hecho, del hecho de que (5) y (6) sean verdaderas, se deduce que ganó el proyecto ruso. Y luego resulta que de las dos declaraciones del ministro ruso, la primera es falsa y la segunda es verdadera. Ambas declaraciones del ministro estadounidense están equivocadas.

Respuesta: El ministro chino fue más franco, el ministro ruso fue más cauteloso y el ministro estadounidense fue más reservado.

§ 6. Función lógica.

En el álgebra de la lógica, las declaraciones simples se reemplazan por variables lógicas, de lo contrario, los valores de las variables solo pueden ser 0 y 1. Los conectores lógicos se reemplazan por sus símbolos matemáticos correspondientes. En este caso, una declaración compleja se convierte en una función lógica.

Función lógica F de un conjunto de variables lógicas (a , b , c , ...) es una función que puede tomar solo dos valores: 0 y 1.

F (a, b) = a  b - multiplicación lógica (conjunción).

F (a, b) = a v b - suma lógica (disyunción).

F (a) \u003d  a - negación (inversión).

F(a, b) = a  b - implicación.

F (a, b) = a  b - equivalente.

Las funciones lógicas se pueden calcular utilizando tablas de verdad.

La tabla de verdad de una función lógica depende del número de variables lógicas y contiene 2n conjuntos de variables.

Ejemplo 1. Cálculo del valor de una función lógica

F (a , B ) =  (a v B )  (a   B )

Seleccionamos funciones lógicas intermedias y completamos la tabla de verdad para los conjuntos correspondientes de variables lógicas.

a

B

a v b

 (a v b )

 B

a   b

F(a, b)

La tabla muestra que para cualquier conjunto de variables lógicas, la función F (a, b) es idénticamente igual a cero.

Ejemplo 2. Cálculo del valor de una función lógica para valores dados de variables.

F (a, b, c) = a v b  (a  c   B).

Calcular: F (1, 0, 1).

Solución:

F (1, 0, 1) = 1 v 0  (1  1   0)

El valor de la expresión entre paréntesis se puede omitir, porque luego se ejecuta la conjunción de 0 y la expresión entre paréntesis. Entonces tenemos:

F(1, 0, 1) = 1 v 0 = 1.

Respuesta: F (1, 0, 1) = 1.

El método de construcción de tablas de verdad también se utiliza para probar la igualdad lógica de diferentes funciones lógicas. Además, si los valores de las funciones son los mismos en todos los conjuntos idénticos de variables lógicas, se les llama equivalentes.

Las dos funciones booleanas se llaman equivalente, si los valores de las funciones son los mismos en todos los conjuntos idénticos de variables lógicas.

Ejemplo 3. Prueba de la igualdad de dos funciones lógicas.

Probemos que las funciones F 1 ( a , B ) =  a v B y F 2 ( a , B ) = a  B son equivalentes.

a

B

 a

 a v b

a  B

De acuerdo con la tabla, determinamos que en todos los conjuntos idénticos de variables lógicas, los valores de las funciones son los mismos, por lo tanto, son equivalentes.

La aplicación de las leyes de la lógica le permite reducir el número de variables en expresiones lógicas y simplificar funciones lógicas.

Las leyes de la lógica también se aplican para construir funciones lógicas a partir de tablas de verdad. Al hacerlo, uno debe guiarse siguiente regla:

Para cada fila de la tabla de verdad con un solo valor, construya un minitérmino (conjunción de variables), mientras que la variable debe ocurrir una vez (sin negación o con negación). Si las variables en la tabla de verdad tienen valores de cero seguidos, ingresan al minitérmino con una negación, y las variables que tienen un valor de uno ingresan al minitérmino sin negación.

Combina todos los minitérminos con una operación de disyunción.

Simplifique, si es posible, la fórmula lógica resultante.

Ejemplo 4. Construcción de una función lógica según una tabla de verdad dada.

a

B

C

F(a, b, c)

Seleccionemos filas donde la función sea igual a 1 y construyamos términos mínimos para ellas:

línea 1:  a  B  C ;

línea 2:  a  B  C .

Combinar minitérminos: F ( a , B , C ) =  a  B  C   a  B  C .

Simplifiquemos la función lógica: F ( a , B , C ) =  a  B  C   a  B  C = {3} =  a  B  (  C  C ) = {6} =  a  B  1= {7} =  a  B = {4} =  ( a  B )

Entonces, tenemos una función lógica. F ( a , B , C ) =  ( a  B ).

§ 7. Fundamentos lógicos de las computadoras. Elementos lógicos básicos.

El aparato matemático del álgebra de la lógica es muy conveniente para describir cómo funciona el hardware de una computadora, ya que el sistema numérico principal en una computadora es binario, que utiliza los números 1 y 0, y también hay dos valores de variables lógicas: “ 1” y “0”.

De esto se derivan dos conclusiones:

Los mismos dispositivos informáticos se pueden utilizar para procesar y almacenar tanto la información numérica presentada en el sistema numérico binario como las variables lógicas;

En la etapa de diseño de hardware, el álgebra lógica permite simplificar significativamente las funciones lógicas que describen el funcionamiento de los circuitos informáticos y, en consecuencia, reducir la cantidad de elementos lógicos elementales, de los cuales decenas de miles de los componentes principales de una computadora son hechos.

Los datos y los comandos se representan como secuencias binarias de varias estructuras y longitudes. Hay varias formas físicas de codificar información binaria. En dispositivos electrónicos informáticos los binarios suelen estar codificados por un nivel de voltaje más alto que los ceros binarios.

elemento lógico Una computadora es una parte de un circuito lógico electrónico que implementa una función lógica elemental.

Los elementos lógicos básicos de las computadoras para la implementación de funciones lógicas son los circuitos electrónicos AND, OR, NOT, AND-NOT, OR-NOT (también llamados válvulas).

Con estos esquemas, puede implementar cualquier función lógica que describa el funcionamiento de los dispositivos informáticos. Por lo general, las válvulas tienen de una a ocho entradas y una o dos salidas.

Para representar los dos estados lógicos: "1" y "0" en las puertas, sus respectivas señales de entrada y salida tienen uno de los dos niveles de voltaje establecidos. Por ejemplo, +5 voltios y 0 voltios. Un nivel alto generalmente corresponde al valor "verdadero" ("1"), y un nivel bajo corresponde al valor "falso" ("0").

Cada elemento lógico tiene su propio símbolo, que expresa su función lógica, pero no indica qué circuito electrónico se implementa en él. Esto facilita la escritura y comprensión de circuitos lógicos complejos. El funcionamiento de los elementos lógicos también se describe mediante tablas de verdad.

Y (conjuntor)

El circuito AND implementa la conjunción de dos o más valores booleanos.

X

y

X . y

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

La unidad a la salida del circuito AND será si y solo si hay unos en todas las entradas. Cuando al menos una entrada es cero, la salida también será cero.

La conexión entre la salida z de este circuito y las entradas x e y se describe mediante la relación: z=x . y

La operación de conjunción en diagramas de bloques se denota con el signo "&" (leído como "ampersand"), que es una abreviatura de la palabra inglesa y.

O (disyuntor)

El circuito OR implementa la disyunción de dos o más valores lógicos.

X

y

X  y

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

Cuando al menos una entrada del circuito OR es una, su salida también lo será.

Relación entre salida z este circuito y las entradas X y y se describe por la relación: z = x v y

Firmar "1" en el diagrama - de la obsoleta notación de disyunción como ">=1" (es decir, el valor de la disyunción es igual a uno si la suma de los valores de los operandos es mayor o igual a 1).

NO (inversor)

X

y

 (x, y)

0

0

1

0

1

1

1

0

1

1

1

0

Esquema Y NO consta de un elemento Y Y.

Relación entre salida z y entradas X y y Los esquemas se escriben de la siguiente manera: z= (X . y), donde x . y se lee como "invertir x e y".

OR-NOT (elemento de perforación)

Esquema O NO consta de un elemento O e inversor y niega el resultado del circuito O. C)

F = un (  B   C)  (a  e d) (  a  antes de Cristo)

F = a b c  a B C  un segundo  CD

F = un   un (b  C)  (  a  D  g) (b  d) (c   D  gh)

§ 8. Elementos lógicos de la computadora. disparador y sumador.

Desencadenar- Este es un circuito electrónico ampliamente utilizado en registros de computadora para el almacenamiento confiable de un bit de un código binario. El disparador tiene dos estados estables, uno de los cuales corresponde a un binario y el otro a un cero binario

Término desencadenar proviene de la palabra inglesa desencadenar- pestillo, gatillo. Para referirse a este esquema en inglés, se usa más el término chanclas, que significa "aplaudir" en la traducción. Este nombre onomatopéyico para un circuito electrónico se refiere a su capacidad para cambiar ("transferir") casi instantáneamente de un estado eléctrico a otro y viceversa.

El tipo de disparador más común es el llamado disparador RS (S y R, respectivamente, del inglés colocar- instalación y Reiniciar- Reiniciar).

S0

1

1

0

1

0

0

1

1

1

almacenamiento de bits

S Q

R  q

Analicemos las posibles combinaciones de los valores de las entradas R y S del flip-flop usando su circuito y la tabla de verdad del circuito NOR

Si se aplica S=“1”, R=“0” a las entradas del disparador, entonces (independientemente del estado) aparecerá “0” en la salida Q de la puerta superior. Después de eso, en las entradas de la puerta inferior será R="0", Q="0" y la salida  q se convertirá en "1".

De la misma forma, al aplicar “0” a la entrada S y “1” a la entrada R, la salida  q Aparecerá “0” y aparecerá “1” en Q.

Si se aplica un "1" lógico a las entradas R y S, entonces el estado de Q y  q no cambia.

La aplicación de un "0" lógico a ambas entradas R y S puede generar resultados ambiguos, por lo que esta combinación de señales de entrada está prohibida.

Dado que un disparador puede almacenar solo un bit de un código binario, se necesitan 8 disparadores para almacenar un byte y 8 x 2 10 = 8192 disparadores, respectivamente, para almacenar un kilobyte. Los chips de memoria modernos contienen millones de flip-flops.

Para simplificar al máximo el funcionamiento de la computadora, toda la variedad de operaciones matemáticas se reduce a la suma de números binarios.

Recuerde que al sumar números binarios, se forma una suma en un dígito dado y también es posible una transferencia al dígito más alto.

Condiciones

Transferir

Suma

A

B

PAGS

S

0

0

0

0

0

1

0

1

1

0

0

1

1

1

1

0

En esta tabla se puede ver que la transferencia se implementa utilizando el elemento lógico "AND".

En cuanto a la suma, el elemento lógico más apropiado es el elemento "OR". Sin embargo, al sumar el cuarto par de números, el resultado debe ser 0, no 1. Para lograr el resultado deseado, puede enviar una señal de acarreo al elemento lógico "NOT", y luego desde su salida y la salida de el elemento "O", envía una señal al elemento "Y". A la salida del elemento "Y", recibiremos la señal requerida.

A (0.0.1.1) P (0.0.0.1)

segundo(0,1,0,1)

0.0.0.1 1.1.1.0 S(0.1.1.0)

0,1,1,1

Este esquema se llama medio sumador, porque implementa la suma de números binarios de un solo dígito sin tener en cuenta la transferencia desde el bit menos significativo.

Sumador es un circuito lógico electrónico que realiza la suma de números binarios

El sumador sirve, en primer lugar, como unidad central de la unidad aritmético-lógica de la computadora, pero también encuentra aplicación en otros dispositivos de la máquina.

un yo

b yo

Pi

p i-1

c yo

Al sumar los números A y B en uno I El dígito tiene que lidiar con tres dígitos:

1. dígito a I el primer término;

2. número b I segundo período;

3. transferencia p i–1 de la clase juvenil.

Como resultado de la suma, se obtienen dos dígitos: el número c I por la cantidad; transferencia p I de esta categoría a la senior.

De este modo, un sumador binario de un solo bit es un dispositivo con tres entradas y dos salidas, cuyo funcionamiento se puede describir mediante la siguiente tabla de verdad:

Entradas

Salidas

Primer periodo

Segundo período

Transferir

Suma

Transferir

un yo

b yo

p i-1

c yo

Pi

0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

0

1

1

0

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

1

1

1

Si se requiere agregar palabras binarias con una longitud de dos o más bits, se puede usar una conexión en serie de dichos sumadores, y para dos sumadores adyacentes, la salida de acarreo de un sumador es la entrada del otro.

sumador binario de varios bits, diseñado para sumar números binarios de varios dígitos, es una combinación de sumadores de un solo dígito.

Por ejemplo, el circuito para calcular la suma C = (c 3 c 2 c 1 c 0) de dos números binarios de tres dígitos A = (a 2 a 1 a 0) y B = (b 2 b 1 b 0), donde c 0 es el dígito menos significativo de la suma, con 3 - el dígito más significativo de la suma, puede verse así:

un 0 un 1 un 2

segundo 0 segundo 1 segundo 2

0 de 3

s 0 s 1 s 2

Por lo tanto, podemos concluir que los elementos lógicos son "ladrillos" de construcción a partir de los cuales, mediante la construcción de circuitos lógicos, se construye el "edificio" de cualquier computadora moderna.

Preguntas para el autocontrol:

¿Qué estudia la lógica, la lógica matemática, el álgebra de la lógica?

Defina los siguientes conceptos: enunciado, afirmación, razonamiento, inferencia, expresión lógica.

Conectivos lógicos básicos, enunciados elementales y compuestos.

Enumere las operaciones lógicas básicas y cómo escribirlas.

Defina una fórmula lógica.

Explique el significado de los siguientes conceptos: fórmula lógica factible, tautología, contradicción, transformación equivalente de la fórmula.

Escribe las fórmulas para reemplazar implicación y equivalencia con una combinación del resto de las operaciones lógicas básicas.

El concepto de la tabla de verdad de una fórmula lógica. Tablas de verdad de fórmulas elementales.

¿Qué es la simplificación de fórmulas?

Leyes básicas del álgebra de la lógica.

Enumerar y describir las principales formas de resolver problemas lógicos.

Defina una función lógica.

El concepto de funciones lógicas equivalentes.

La regla para construir una función lógica a partir de tablas de verdad.

Definición de elemento lógico de un ordenador. Elementos lógicos básicos.

disparador y sumador. Tablas de verdad y circuitos lógicos apropiados.

MINISTERIO DE EDUCACIÓN Y CIENCIA DE LA FEDERACIÓN DE RUSIA

UNIVERSIDAD ESTATAL DE RUSIA DE PETRÓLEO Y GAS NOMBRADA EN LUGAR DE I.M. GUBKINA

sobre el tema: "Los fundamentos lógicos de un dispositivo informático"

Bulat V.R.

Moscú, 2014

1. ¿Qué es el álgebra de la lógica?

1 Operaciones lógicas: disyunción, conjunción y negación

2 tablas de verdad

Los fundamentos lógicos de una computadora.

1 Leyes del álgebra de la lógica

2 circuitos de conmutación

3 válvulas

4 Totalizador y medio sumador

4.1 Medio sumador

4.2 Totalizador

5 Gatillo como elemento de memoria. Circuito biestable RS

5.1 Flip-flop RS en puertas NOR

Lista de literatura usada

1. ¿Qué es el álgebra de la lógica?

El álgebra de la lógica (álgebra booleana) es una rama de las matemáticas que surgió en el siglo XIX gracias al esfuerzo del matemático inglés J. Boole. Al principio, el álgebra booleana no tenía ningún valor práctico. Sin embargo, ya en el siglo XX, sus disposiciones fueron utilizadas en la descripción del funcionamiento y desarrollo de diversos circuitos electrónicos. Las leyes y el aparato del álgebra de la lógica comenzaron a usarse en el diseño de varias partes de las computadoras (memoria, procesador). Aunque este no es el único ámbito de esta ciencia.

¿Qué es el álgebra de la lógica? Primero, estudia métodos para establecer la verdad o falsedad de declaraciones lógicas complejas utilizando métodos algebraicos. En segundo lugar, lo hace de tal manera que una declaración lógica compleja se describe mediante una función, cuyo resultado puede ser verdadero o falso (1 o 0). Al mismo tiempo, los argumentos de función (sentencias simples) también pueden tener solo dos valores: 0 o 1.

¿Qué es una proposición lógica simple? Estas son frases como "dos es mayor que uno", "5,8 es un número entero". En el primer caso tenemos verdadero, y en el segundo falso. El álgebra de la lógica no se ocupa de la esencia de estos enunciados. Si alguien decide que la afirmación "La tierra es cuadrada" es verdadera, entonces el álgebra de la lógica lo aceptará como un hecho. El hecho es que el álgebra booleana se ocupa de calcular el resultado de enunciados lógicos complejos a partir de valores previamente conocidos de enunciados simples.

.1 Operaciones lógicas: disyunción, conjunción y negación

El álgebra de la lógica proporciona muchas operaciones lógicas. Sin embargo, tres de ellos merecen especial atención, porque. pueden describir todos los demás y, por lo tanto, usar menos dispositivos en el diseño de circuitos. Estas operaciones son conjunción (AND), disyunción (OR) y negación (NOT). A menudo, la conjunción se denota con &, la disyunción con || y la negación con una barra sobre una variable que denota una declaración.

En conjunción, la verdad de una expresión compleja surge solo si todas las expresiones simples que componen la expresión compleja son verdaderas. En todos los demás casos, la expresión compuesta será falsa.

Con la disyunción, la verdad de una expresión compleja ocurre cuando al menos una de las expresiones simples incluidas en ella, o dos a la vez, es verdadera. Sucede que una expresión compleja consta de más de dos simples.

En este caso, basta que un primo sea verdadero, y entonces toda la proposición será verdadera.

La negación es una operación unaria (es decir, depende de un argumento), porque se realiza en relación con una expresión simple o en relación con el resultado de una compleja. Como resultado de la negación se obtiene un nuevo enunciado, opuesto al original.

.2 Tablas de verdad

Es conveniente describir las operaciones lógicas mediante las llamadas tablas de verdad, que reflejan los resultados de los cálculos de declaraciones complejas para diferentes valores de las declaraciones simples originales. Las declaraciones simples se indican mediante variables (por ejemplo, A y B). (1, pág. 125).

2. Fundamentos lógicos de una computadora

La computadora utiliza varios dispositivos, cuyo funcionamiento está perfectamente descrito por el álgebra de la lógica. Dichos dispositivos incluyen grupos de interruptores, puertas, flip-flops, sumadores.

Además, la conexión entre el álgebra booleana y las computadoras radica en el sistema numérico binario que se usa en la computadora. Por lo tanto, en los dispositivos informáticos se pueden almacenar y convertir tanto números como valores de variables lógicas.

.1 Leyes del álgebra de la lógica

Tres operaciones se usan comúnmente para valores booleanos:

1. Conjunción - multiplicación lógica (AND) - and, &, ∧.

2. Disyunción - suma lógica (OR) - o, |, v.

Negación lógica (NOT) - no, ¬.

Las expresiones lógicas se pueden transformar de acuerdo con las leyes del álgebra de la lógica:

1. Leyes de reflexividad: a ∨ a = a a ∧ a = a

2. Leyes de conmutatividad: a ∨ b = b ∨ a a ∧ b = b ∧ a

Leyes de distributividad: a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)

La ley de la negación: ¬ (¬ a) = a

Leyes de De Morgan: ¬ (a ∧ b) = ¬ a ∨ ¬ b ¬ (a ∨ b) = ¬ a ∧ ¬ b

7. Leyes de absorción: a ∨ (a ∧ b) = a a ∧ (a ∨ b) = a

2.2 Circuitos de conmutación

La computadora usa circuitos eléctricos que consisten en muchos interruptores. El interruptor solo puede estar en dos estados: cerrado y abierto. En el primer caso, la corriente pasa, en el segundo, no. Es muy conveniente describir la operación de tales circuitos usando el álgebra de la lógica. Dependiendo de la posición de los interruptores, es posible que reciba o no señales en las salidas.

.3 Válvulas

Una puerta es un dispositivo que produce el resultado de una operación booleana a partir de los datos (señales) ingresados ​​en ella. Entonces, por ejemplo, hay puertas que implementan la multiplicación lógica (conjunción), la suma (disyunción) y la negación.

Las puertas son elementos bastante simples que se pueden combinar entre sí, creando así varios circuitos. Algunos circuitos son adecuados para la implementación de operaciones aritméticas, mientras que otros se utilizan para construir varias memorias de computadora.

La válvula más simple es un inversor de transistores que convierte el bajo voltaje en alto voltaje o viceversa (alto en bajo). Esto se puede representar como una transformación de un cero lógico en uno lógico o viceversa, es decir obtenemos una puerta NOT.

Al conectar un par de transistores de una manera diferente, obtienen puertas OR-NOT y NAND. Estas puertas ya no aceptan una, sino dos o más señales de entrada. La señal de salida es siempre la misma y depende de las señales de entrada. En el caso de una puerta NOR, solo se puede obtener un voltaje alto (uno lógico) si el voltaje es bajo en todas las entradas. En el caso de una puerta NAND, ocurre lo contrario: se obtiene un uno lógico si todas las señales de entrada son cero. Como puede ver, esto es lo contrario de operaciones lógicas familiares como AND y OR. Sin embargo, las puertas NAND y NOR se usan comúnmente, ya que su implementación es más simple: AND-NOT y OR-NOT se implementan mediante dos transistores, mientras que AND y OR lógicos se implementan mediante tres.

La salida de la puerta se puede expresar como una función de las entradas.

El transistor tarda muy poco en cambiar de un estado a otro (el tiempo de conmutación se estima en nanosegundos). Y esta es una de las ventajas significativas de los esquemas construidos sobre su base.

2.4 Totalizador y medio sumador

La unidad lógica aritmética del procesador (ALU) contiene necesariamente elementos tales como sumadores. Estos esquemas le permiten agregar números binarios.

¿Cómo funciona la suma? Digamos que desea sumar los números binarios 1001 y 0011. Primero, sume los dígitos menos significativos (los últimos dígitos): 1+1=10. Aquellos. en el bit menos significativo será 0, y la unidad es una transferencia al bit más significativo. Además: 0 + 1 + 1 (de la transferencia) = 10, es decir en este bit se volverá a escribir 0 y la unidad irá al bit más alto. En el tercer paso: 0 + 0 + 1 (desde la transferencia) = 1. Como resultado, la suma es 1100.

.4.1 Medio sumador

Ahora no prestaremos atención a la transferencia de la categoría anterior y consideraremos solo cómo se forma la suma de la categoría actual. Si se dieron dos unos o dos ceros, entonces la suma del bit actual es 0. Si uno de los dos términos es igual a uno, entonces la suma es igual a uno. Puede obtener tales resultados utilizando la puerta O EXCLUSIVA.

La transferencia de uno al siguiente dígito ocurre si dos términos son iguales a uno. Y esto es realizado por la puerta I.

Luego, la suma dentro de un dígito (sin tener en cuenta la posible unidad entrante del dígito menos significativo) puede implementarse mediante el circuito que se muestra a continuación, que se denomina medio sumador. El medio sumador tiene dos entradas (para términos) y dos salidas (para suma y acarreo). El diagrama muestra un medio sumador que consta de puertas OR y AND EXCLUSIVAS.

2.4.2 Totalizador

A diferencia del medio sumador, el sumador tiene en cuenta el acarreo del bit anterior, por lo que no tiene dos, sino tres entradas.

Para tener en cuenta la transferencia, el esquema tiene que ser complicado. De hecho, resulta que consta de dos medios sumadores.

Consideremos uno de los casos. Se requiere sumar 0 y 1, así como 1 del acarreo. Primero, determinamos la cantidad de la descarga actual. A juzgar por el esquema O EXCLUSIVO de la izquierda, que incluye a y b, obtenemos una unidad en la salida. El próximo O EXCLUSIVO ya tiene dos 1. Por lo tanto, la suma será 0.

Ahora veamos qué pasa con la transferencia. Una puerta AND contiene 0 y 1 (a y b). Obtenemos 0. Dos 1 entran en la segunda puerta (a la derecha), lo que da 1. Al pasar por la puerta OR, cero del primer AND y uno del segundo AND nos da 1.

Comprobemos el funcionamiento del circuito por simple suma 0 + 1 + 1 = 10. Es decir 0 permanece en el dígito actual y la unidad va al más alto. Por lo tanto, el circuito lógico funciona correctamente.

El funcionamiento de este circuito para todos los valores de entrada posibles se puede describir mediante la siguiente tabla de verdad.

.5 Gatillo como elemento de memoria. Circuito biestable RS

La memoria (un dispositivo utilizado para almacenar datos y comandos) es una parte importante de una computadora. Podemos decir que lo define: si un dispositivo informático no tiene memoria, entonces ya no es una computadora.

La unidad básica de la memoria de la computadora es un bit. Por lo tanto, se requiere un dispositivo capaz de estar en dos estados, es decir almacenar uno o cero. Además, este dispositivo debe poder cambiar rápidamente de un estado a otro bajo influencia externa, lo que hace posible cambiar la información. Y finalmente, el dispositivo debería permitirle determinar su estado, es decir. proporcionar información externa sobre su condición.

Disparador: un dispositivo que puede recordar, almacenar y leer información. Fue inventado a principios del siglo XX por Bonch-Bruevich.

La variedad de disparadores es muy grande. El más simple de ellos es el llamado flip-flop RS, que se ensambla a partir de dos puertas. Por lo general, se utilizan puertas OR-NOT o NAND.

computadora de mesa lógica de álgebra

2.5.1 Flip-flop RS en puertas NOR

El flip-flop RS "recuerda" la última vez que recibió una señal correspondiente a uno. Si la señal se aplicó a la entrada S, entonces el disparador en la salida "informa" constantemente que almacena la unidad. Si se aplica una señal correspondiente a uno a la entrada R, entonces el flip-flop en la salida tiene 0. A pesar de que el flip-flop tiene dos salidas, se entiende la salida Q. (Q con una barra siempre tiene el valor opuesto de Q.)

En otras palabras, la entrada S (set) es responsable de poner el disparador en 1, y la entrada R (reset) es responsable de poner el disparador en 0. El ajuste se realiza mediante una señal con un alto voltaje (corresponde a uno ). Todo depende de a qué entrada se alimenta.

La mayor parte del tiempo las entradas están en 0 (bajo voltaje). En este caso, el activador conserva su estado anterior.

Las siguientes situaciones son posibles:

· Q = 1, la señal se aplica a S, por lo tanto, Q no cambia.

Q = 0, la señal se aplica a S, por lo tanto, Q = 1.

Q = 1, la señal se aplica a R, por lo tanto, Q = 0.

· Q = 0, la señal se aplica a R, por lo tanto, Q no cambia.

La situación en la que se aplican señales únicas a ambas entradas es inaceptable.

¿Cómo guarda un disparador el estado? Supongamos que el disparador emite un 0 lógico en la salida Q. Luego, a juzgar por el esquema, este 0 también se devuelve a la puerta superior, donde se invierte (resulta 1) y ya de esta forma se transmite a la puerta inferior .

Eso, a su vez, invierte la señal nuevamente (resulta 0), que está disponible en la salida Q. El estado del disparador se guarda, almacena 0.

3. Importancia práctica del álgebra de la lógica.

Un medio sumador binario es capaz de realizar una operación de suma binaria de dos números binarios de un bit (es decir, siguiendo las reglas de la aritmética binaria):

0 + 0 = 0; 0 + 1 = 1; 1 + 0 = 1; 1 + 1 = 0.

En este caso, el medio sumador selecciona el bit de acarreo. Sin embargo, el circuito semisumador no contiene una tercera entrada, a la que se le puede aplicar una señal de acarreo desde el bit anterior de la suma de números binarios. Por lo tanto, el medio sumador se usa solo en el bit menos significativo del circuito lógico para sumar números binarios de múltiples bits, donde no puede haber una señal de acarreo del bit binario anterior. Un sumador binario completo suma dos números binarios de varios bits, teniendo en cuenta las señales de acarreo de la suma en los bits binarios anteriores.

Al conectar sumadores binarios en cascada, puede obtener un circuito lógico sumador para números binarios con cualquier cantidad de bits. Con algunas modificaciones, estos circuitos lógicos se utilizan para restar, multiplicar y dividir números binarios. Con su ayuda, se construyen las unidades aritméticas de las computadoras modernas.

Los sumadores y medios sumadores son circuitos lógicos de un solo extremo. Los valores de sus salidas están determinados únicamente por los valores de sus entradas. No hay factor de tiempo en ellos. Junto a ellos, existen circuitos lógicos multiciclo en los que los valores de sus salidas están determinados no solo por los valores de sus entradas, sino también por su estado en el ciclo anterior. El factor tiempo está determinado por dichos ciclos. Dichos circuitos lógicos incluyen circuitos de memoria (flip-flops). Se construyen utilizando la retroalimentación de la salida a la entrada.

En flip-flops, la retroalimentación forma un circuito cerrado desde la salida hasta la entrada para almacenar la señal de entrada. Este circuito permanece indefinidamente después de la eliminación de la señal de entrada, hasta la aparición de la señal de borrado.

Tal circuito de memoria también tiene otro nombre: un flip-flop con entradas separadas. En tal circuito, hay una entrada para almacenar (S) y borrar (R). Ampliamente utilizado en informática y flip-flop con entrada de conteo. Solo tiene una entrada y una salida. Tal esquema realiza la división por 2, es decir el estado de su salida cambia solo después de que se aplican dos pulsos de entrada seguidos. Conectando flip-flops con salida de contaje en cascada en serie, se pueden realizar divisiones por 2, 4, 8, 16, 32, 64, etc.

El circuito RAM juega un papel importante en la construcción de sistemas de control para máquinas de alto riesgo, como, por ejemplo, prensas de producción. Para proteger las manos del operador, estas máquinas están construidas con sistemas de control a dos manos. Dichos sistemas obligan al operador a mantener ambas manos en los botones de control durante cada ciclo de funcionamiento de la máquina. Esto evita que las manos entren en la zona de peligro donde se presiona la pieza.

En las computadoras modernas, los transistores microscópicos en un chip de circuito integrado se agrupan en sistemas de puertas que realizan operaciones lógicas en números binarios. Entonces, con su ayuda, se construyen los sumadores binarios descritos anteriormente, que permiten sumar números binarios de varios bits, restar, multiplicar, dividir y comparar números entre sí. Las puertas lógicas, que actúan de acuerdo con ciertas reglas, controlan el movimiento de datos y la ejecución de instrucciones en la computadora. (2, pág. 218)

Lista de literatura usada

1) Ugrinovich N. D. Informática y tecnologías de la información: Libro de texto para los grados 10-11 - M.: BINOM, 2003. - 512 p.

) Makarova N.V., Volkov V.B. Informática: un libro de texto para universidades - M.: Piter, 2011. - 576 p.

1. Concepto, juicio, conclusión.

La lógica estudia la estructura interna del proceso de pensamiento, que se realiza en formas de pensamiento formadas naturalmente como concepto, enunciado y conclusión.

El pensamiento siempre se lleva a cabo a través de conceptos, enunciados y conclusiones.

Un concepto es una forma de pensamiento que destaca las características esenciales de un objeto o clase de objetos que hacen posible distinguirlos de otros.

Las características significativas se denominan tales signos, cada uno de los cuales, tomado por separado, es necesario, y todos juntos son suficientes para distinguir un objeto dado de todos los demás con su ayuda y hacer una generalización combinando objetos homogéneos en un conjunto.

Ejemplos de conceptos:

Conceptos únicos: la montaña más alta de Europa, esta mesa, Moscú, etc.

Conceptos generales: belleza, metal, bondad, estupidez, bosque, equipo, etc.

Conceptos abstractos: peso, rigidez, color, universo, humanidad, etc.

Conceptos específicos: círculo, casa, llama, batalla, etc.

Cualquier concepto se caracteriza contenido y alcance.

El alcance de un concepto es el conjunto de objetos a los que se adjunta el concepto.

Una declaración es una formulación de la propia comprensión del mundo que nos rodea. Un enunciado es una oración declarativa en la que se afirma o se niega algo. Se puede decir que una afirmación es verdadera o falsa. En ruso, las declaraciones se expresan mediante oraciones declarativas:

Palacio Alupka se encuentra en Crimea.

Kashchei the Deathless es tacaño y codicioso.

En ruso, las declaraciones se expresan mediante oraciones declarativas:

en lógica matemática, un enunciado cuya verdad (en el caso general) depende de los valores de sus variables constituyentes.

La inferencia es una forma de pensamiento mediante la cual se puede derivar un nuevo juicio a partir de una o más proposiciones.

El razonamiento es una cadena de hechos, disposiciones generales y conclusiones. Una inferencia es una transición de la información que tenemos antes del razonamiento (premisas o condiciones) a las conclusiones. La forma correcta de razonar a partir de premisas verdaderas siempre conduce a conclusiones verdaderas.

Ejemplos de razonamiento inductivo:

¿Son correctas las conclusiones?

1)
1 - número impar y primo,
3 es un número impar y primo.
5 - número impar y primo
Conclusión: todos los números impares son números primos.

2). 1=1,1+3=4,1+3+5=9,1+3+5+7=16,1+3+5+7+9=25, etc.

Conclusión: el cuadrado de cualquier número K es igual a la suma de los K primeros números impares.

3). Fe, Si, Zn. Pt - sólidos
Conclusión: todos los metales son sólidos.

4) En Argentina, Ecuador, Venezuela hablan español.
Conclusión: todos los países latinoamericanos son hispanos

2. Álgebra de la lógica

- define las reglas para registrar, calcular valores, simplificar y transformar declaraciones.

En el álgebra de la lógica, las proposiciones se denotan con letras y se llaman variables booleanas.

Si la declaración es verdadera, entonces el valor de la variable lógica correspondiente se denota por uno ( A = 1 ), y si es falso - cero ( V = 0 ).

0 y 1 llamado valores booleanos.

Las declaraciones son simples y complejas.

La declaración se llama simple si ninguna parte de ella es en sí misma una proposición.

Las declaraciones complejas (compuestas) se construyen a partir de declaraciones simples con la ayuda de operaciones lógicas.

operaciones lógicas.

Una conjunción es una operación lógica que asocia cada dos declaraciones con una nueva declaración, que es cierto si y solo si ambas afirmaciones originales son verdaderas.

Otro nombre: multiplicación lógica .

La disyunción es una operación lógica que asocia cada dos declaraciones con una nueva declaración, que es falso si y solo si ambas declaraciones originales son falsas.

Otro nombre: adición lógica.

Símbolos: V, |, O, +.

La inversión es una operación lógica que asigna a cada enunciado un nuevo enunciado, cuyo significado es opuesto al original.

Otro nombre: negación lógica.

Designaciones: NO, ¬, ¯ .

Una implicación es una operación lógica que asocia cada dos enunciados simples con un enunciado compuesto que es falso si y solo si la condición (primera afirmación) es verdadera, y la consecuencia (segunda oración) falso.

En lenguaje natural, “Si A, entonces B”;

Designacion –

La equivalencia lógica (equivalencia) es una operación lógica que asocia cada dos declaraciones con una declaración compuesta que es cierto si y solo si ambas declaraciones originales son verdaderas o falsas.

En lenguaje natural - "Entonces y solo si y en ese y solo ese caso";

Designación – ↔

Las operaciones lógicas tienen la siguiente precedencia:

inversión, conjunción, disyunción, implicación, equivalencia

Hay 50 estudiantes en el décimo grado. A la facultad de matemáticas asisten 36 personas, en física - 20 personas, 10 estudiantes están matriculados en ambas optativas.

¿Cuántos estudiantes no asisten a las optativas?

36 - 10 = 26 - el número de estudiantes que asisten a matemáticas y que no asisten a física.

20 + 26 = 46 - el número de estudiantes que asisten a matemáticas o física.

50 - 46 = 4 - el número de estudiantes que no asisten a ninguna electiva.

3. Construcción de tablas de verdad para enunciados complejos.

Propiedades de las operaciones lógicas.

Material de referencia:

Resolver problemas lógicos simplificando expresiones lógicas.

En las competiciones de atletismo, Andrey, Borya, Seryozha y Volodya ocuparon los primeros cuatro lugares. Pero cuando las chicas empezaron a recordar cómo se repartían estos lugares entre los ganadores, las opiniones diferían:

Dasha: Andrey fue el primero y Volodya fue el segundo.

Galya: Andrey fue segundo y Boris tercero.

Lena: Borya fue cuarto y Serezha fue segundo.

Se sabe que cada niña se equivocó en una afirmación y acertó en otra. ¿Cuál de los chicos tomó qué lugar?

Introduzcamos la notación:

4. Elementos lógicos básicos de una computadora

Un convertidor discreto que, después de procesar las señales binarias de entrada, emite una señal en la salida, que es el valor de una de las operaciones lógicas, se llama elemento lógico.

Los elementos lógicos básicos implementan tres operaciones lógicas básicas:

• elemento lógico “AND” (conjuntor) - multiplicación lógica;
• elemento lógico “OR” (disyuntor)
- adición lógica;
• elemento lógico “NOT” (inversor)
- negación lógica.

Cualquier operación lógica se puede representar como una combinación de tres básicas, por lo que cualquier dispositivo informático que procese y almacene información se puede ensamblar a partir de elementos lógicos básicos.

Los elementos lógicos de una computadora operan con señales que son impulsos eléctricos.

Hay un impulso: el valor lógico de la señal. 1, sin impulso- significado 0.

Análisis del circuito electrónico.

¿Qué señal debe haber en la salida para cada conjunto posible de señales en las entradas?

Solución. Todas las combinaciones posibles de señales en las entradas A y B se ingresarán en la tabla de verdad. Tracemos la transformación de cada par de señales a medida que pasan por los elementos lógicos y escribamos el resultado en una tabla.

La tabla de verdad completa describe completamente el circuito electrónico considerado.

El inversor recibe una señal de la entrada B. El conjuntor recibe señales de la entrada A y del inversor. Entonces F= A & ¬ B

Medio sumador y sumador.

La unidad lógica aritmética del procesador (ALU) contiene en su composición
elementos como sumadores. Te permiten sumar números binarios.
Adición dentro de un dígito (sin tener en cuenta la posible entrada
unidades del bit menos significativo) puede implementarse mediante un circuito llamado
medio sumador. El medio sumador tiene dos entradas (para términos) y dos salidas
(para suma y acarreo).

A diferencia del medio sumador, el sumador tiene en cuenta el remanente del anterior
descarga, por lo tanto, no tiene dos, sino tres entradas.

(trigger latch, trigger) es un dispositivo que le permite recordar, almacenar y leer información.

Cada disparador almacena 1 bit de información, por lo que puede estar en uno de dos estados estables: "O" lógico o "1" lógico.

El gatillo puede cambiar casi instantáneamente de un estado eléctrico a otro y viceversa.

La lógica del disparador se ve así:

Las entradas de activación se decodifican de la siguiente manera: S (del conjunto inglés - instalación) y R (Reinicio - reinicio). Se utilizan para establecer el disparador en un estado y restablecerlo a cero. En este sentido, dicho flip-flop se denomina flip-flop RS.

La salida Q se llama directa y la opuesta se llama inversa. Las señales en las salidas directa e inversa, por supuesto, deben ser opuestas.

Deje, para mayor precisión, que se aplique una sola señal a la entrada S y R=0. Entonces, independientemente del estado de la otra entrada que está conectada a la salida Q (en otras palabras, independientemente del estado anterior del disparador), el elemento superior OR-NOT del circuito recibirá 0 en la salida (el OR resultado es 1, pero su inversa es 0). Esta señal cero se transmite a la entrada de otro elemento lógico, donde la segunda entrada R también se establece en 0. Como resultado, después de realizar operaciones lógicas OR-NOT en dos ceros de entrada, este elemento recibe 1 en la salida, que vuelve al primer elemento en la entrada correspondiente. La última circunstancia es muy importante: ahora que esta entrada se ha puesto a 1, el estado de la otra entrada (S) ya no juega ningún papel. En otras palabras, incluso si la señal de entrada S se elimina ahora, la distribución interna de niveles permanecerá sin cambios.

Como Q = 1, el flip-flop ha cambiado a un solo estado, y hasta que lleguen nuevas señales externas, lo mantiene. Entonces, cuando se aplica una señal a la entrada S, el flip-flop entra en un estado único estable.

Con la combinación opuesta de señales R \u003d 1 y S \u003d 0, debido a la simetría completa del circuito, todo sucede de manera completamente similar, pero ahora la salida Q ya es 0. En otras palabras, cuando una señal es aplicado al R-flip-flop, se restablece a un estado cero estable.

Por lo tanto, el final de la señal en ambos casos conduce al hecho de que R = 0 y S = 0.

La lógica es una ciencia que estudia las leyes y formas del pensamiento. El álgebra de la lógica es un aparato matemático con el que escribir, simplificar, transformar y calcular enunciados lógicos. Esta es una rama de las matemáticas que estudia las declaraciones en términos de sus significados lógicos y conectores lógicos (operaciones). Por primera vez, la AL como aparato matemático surgió a mediados del siglo XIX en los trabajos del matemático inglés George Boole y desde entonces se la denomina “álgebra booleana”.

Una proposición lógica es cualquier oración declarativa que puede decirse inequívocamente verdadera o falsa. Roma es la capital de Italia (verdadero), 5 es un número par (falso). Además, las declaraciones complejas también se usan en AL, que contienen varios pensamientos simples interconectados (ligamentos) por operaciones lógicas.

Cada conectivo lógico se considera como una operación sobre enunciados lógicos y tiene su propio nombre y designación:

NO- La operación expresada por la palabra "no" se llama negación y se indica mediante una barra encima del enunciado (o mediante el signo ). La proposición es verdadera cuando A es falsa y falsa cuando A es verdadera. Ejemplo. "La Luna es un satélite de la Tierra" (A); "La luna no es un satélite de la Tierra" ().

Y- La operación expresada por el enlace "y" se llama conjunción (lat. conjunctio - conexión) o multiplicación lógica y se denota con un punto " " (también puede ser denotado por o &). El enunciado A. B es verdadero si y solo si ambos enunciados A y B son verdaderos. Por ejemplo, el enunciado: "10 es divisible por 2 y 5 es mayor que 3" es verdadero , y las afirmaciones: "10 es divisible por 2 y 5 no es mayor que 3", "10 no es divisible por 2 y 5 es mayor que 3", "10 no es divisible por 2 y 5 no es mayor que 3" son falsos

O- La operación, expresada por el enlace "o" (en el sentido no exclusivo de la palabra), se llama disyunción (lat. disjunctio - separación) o suma lógica y se denota con el signo v (o más). Una proposición A v B es falsa si y solo si ambas proposiciones A y B son falsas. Por ejemplo, "10 no es divisible por 2 o 5" es falso, pero "10 no es divisible por 2 o 10 es divisible por 3" es verdadero.

Un elemento lógico de computadora es una pieza de circuito lógico electrónico que implementa una función lógica elemental.

Los elementos lógicos de las computadoras son los circuitos electrónicos Y, O, NO (también llamados puertas), así como un flip-flop. Hay una o más entradas y una salida.

Cada elemento lógico tiene su propio símbolo, que expresa su función lógica, pero no indica qué circuito electrónico se implementa en él. Esto facilita la escritura y comprensión de circuitos lógicos complejos.

El funcionamiento de los elementos lógicos se describe mediante tablas de verdad.

mesa de la verdad- esta es una representación tabular de un circuito lógico (operación), que enumera todas las combinaciones posibles de valores de señal de entrada (operandos) y los valores de señal de salida correspondientes (resultado de operación) para cada una de estas combinaciones.

Esquema I

El circuito AND implementa la conjunción de dos o más valores booleanos. El símbolo en los diagramas de bloques del circuito AND con dos entradas se muestra en la Fig. 1.

Tabla de verdad del circuito AND

La unidad a la salida del circuito AND será si y solo si hay unos en todas las entradas. Cuando al menos una entrada es cero, la salida también será cero.

La conexión entre la salida z de este circuito y las entradas x e y se describe mediante la relación: z = x . y

(léase como "x e y"). La operación de conjunción en diagramas de bloques se denota con el signo "&" (leído como "ampersand"), que es una abreviatura de la palabra inglesa y.

CON

hemo O

El circuito OR implementa la disyunción de dos o más valores lógicos. Cuando al menos una entrada del circuito OR es una, su salida también lo será.

El símbolo en los diagramas de bloques del circuito OR con dos entradas se muestra en la Fig.2. La designación es el signo "1" en el diagrama. La conexión entre la salida z de este circuito y las entradas x e y se describe mediante la relación: z = x v y (léase como "x o y").

tabla de verdad del circuito O

CON

hema NO

El circuito NOT (inversor) implementa la operación de negación. La relación entre la entrada x de este circuito y la salida z se puede escribir como z = , que se lee "no x" o "inverso de x".

Si la entrada del circuito es 0, entonces la salida es 1. Cuando la entrada es 1, la salida es 0. El símbolo en los diagramas de bloques del inversor está en la Figura 3

NO tabla de verdad del circuito